Номер 8.24, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.24. В правильную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ по образующим $EE_1$ и $FF_1$ соответственно. Четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Найдите площадь этого квадрата, если радиус основания цилиндра равен $R$.

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является правильной, в её основании лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат $ABCD$, а боковые грани перпендикулярны основанию.

Рассмотрим проекцию цилиндра и призмы на плоскость нижнего основания $ABCD$. Проекцией цилиндра является его нижнее основание — круг с центром $O$ и радиусом $R$. Проекциями боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ являются стороны квадрата $AB$ и $BC$. Образующие $EE_1$ и $FF_1$, по которым цилиндр касается граней, проецируются в точки $E$ и $F$.

Условие касания цилиндра грани $AA_1B_1B$ по образующей $EE_1$ означает, что в проекции на основание круг касается прямой $AB$ в точке $E$. Аналогично, круг касается прямой $BC$ в точке $F$.

Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Таким образом, $OE \perp AB$ и $OF \perp BC$. Длины этих радиусов равны $R$: $OE = R$ и $OF = R$.

Рассмотрим четырёхугольник $OEBF$. В нём три прямых угла: $\angle OEB = 90^\circ$, $\angle OFB = 90^\circ$ и $\angle EBF = 90^\circ$. Следовательно, $OEBF$ — прямоугольник. Поскольку две его смежные стороны $OE$ и $OF$ равны $R$, этот прямоугольник является квадратом со стороной $R$.

Найдём длину отрезка $EF$. Точки $E$ и $F$ лежат на окружности основания цилиндра. Треугольник $OEF$ — прямоугольный, так как угол $\angle EOF$ является четвёртым углом в квадрате $OEBF$ и равен $90^\circ$. По теореме Пифагора для треугольника $OEF$: $EF^2 = OE^2 + OF^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда, $EF = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим четырёхугольник $EE_1F_1F$. Он образован двумя образующими цилиндра $EE_1$ и $FF_1$ и отрезками $EF$ и $E_1F_1$. Образующие цилиндра параллельны и равны его высоте. Также они перпендикулярны основаниям. Следовательно, $EE_1 \perp EF$, и четырёхугольник $EE_1F_1F$ является прямоугольником со сторонами $EF$ и $EE_1$.

По условию задачи, четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Это значит, что его смежные стороны равны: $EE_1 = EF$. Таким образом, сторона этого квадрата равна $EF = R\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $EE_1F_1F$ равна квадрату его стороны: $S_{EE_1F_1F} = EF^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

Ответ: $2R^2$.