Номер 8.27, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.27. В цилиндр, радиус основания которого равен 5 см, вписана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является трапеция $ABCD$, в которой $BC = 6$ см, $AD = 8$ см. Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1D_1$ равно 25 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. По условию $R = 5$ см. Следовательно, задача сводится к нахождению высоты цилиндра $H$.

1. Нахождение высоты трапеции в основании

Так как призма вписана в цилиндр, ее основание (трапеция $ABCD$) вписано в окружность, которая является основанием цилиндра. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Радиус этой окружности равен $R = 5$ см.

Пусть $O$ — центр окружности. Расстояние от центра окружности до хорды можно найти по теореме Пифагора. Пусть $h_1$ — расстояние от центра $O$ до основания $AD$, а $h_2$ — расстояние от центра $O$ до основания $BC$.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды $AD$ и перпендикуляром $h_1$, имеем:

$h_1 = \sqrt{R^2 - (AD/2)^2} = \sqrt{5^2 - (8/2)^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Аналогично для хорды $BC$:

$h_2 = \sqrt{R^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Поскольку $AD$ и $BC$ — основания трапеции, они параллельны. Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции, перпендикулярной основаниям. Высота трапеции $h_{тр}$ равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$. Так как центр $O$ находится между основаниями (поскольку $h_1 < R$ и $h_2 < R$), высота трапеции равна сумме расстояний от центра до каждого основания:

$h_{тр} = h_1 + h_2 = 3 + 4 = 7$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1D_1$ (обозначим его $d=25$ см) связано с высотой призмы $H$ (которая равна высоте цилиндра) и расстоянием между их проекциями на плоскость, перпендикулярную высоте. Проекцией прямой $A_1D_1$ на плоскость основания $ABCD$ является прямая $AD$. Расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$ — это высота трапеции $h_{тр} = 7$ см.

Связь между этими величинами выражается через теорему Пифагора в пространстве:

$d^2 = H^2 + h_{тр}^2$

Подставляем известные значения:

$25^2 = H^2 + 7^2$

$625 = H^2 + 49$

$H^2 = 625 - 49 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R = 5$ см и высоту $H = 24$ см, находим площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 5 \cdot 24 = 240 \pi$ см².

Ответ: $240 \pi$ см².