Номер 8.31, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.31. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов большей боковой стороны на 1 см и 2 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Тогда $AB$ — высота трапеции, а $CD$ — большая боковая сторона. Пусть $O$ — центр вписанной окружности.

По условию, расстояния от центра $O$ до концов большей боковой стороны равны $OD = 1$ см и $OC = 2$ см.

Центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle CDA$ соответственно.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $COD$. Сумма его углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:
$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle CDA = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle CDA) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Отсюда следует, что третий угол треугольника $COD$ равен $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Значит, треугольник $COD$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $CD$ (большей боковой стороны трапеции):
$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ см.

Радиус $r$ вписанной окружности равен высоте $OK$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $CD$ в треугольнике $COD$. Найдем этот радиус через площадь треугольника $COD$.
Площадь $S_{\triangle COD}$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см$^2$.
$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot r$.
Приравнивая эти два выражения, получаем: $1 = \frac{\sqrt{5}}{2}r$, откуда $r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ см.

Высота прямоугольной трапеции $AB$ равна диаметру вписанной окружности:
$AB = h = 2r = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это означает: $AD + BC = AB + CD$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Используя свойство вписанной окружности, заменим сумму оснований на сумму боковых сторон:
$S_{ABCD} = \frac{AB+CD}{2} \cdot AB$.

Подставим найденные значения $AB = \frac{4}{\sqrt{5}}$ и $CD = \sqrt{5}$:
$S_{ABCD} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{4+5}{\sqrt{5}}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{9}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{36}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3,6$ см$^2$.

Ответ: $3,6$ см$^2$.