Номер 9.4, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.4. Образующая конуса равна $a$, а угол в его осевом сечении при вершине конуса равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

По условию задачи, образующая конуса равна $a$, а угол в его осевом сечении при вершине равен $\alpha$. Обозначим образующую как $L$, радиус основания как $R$ и высоту конуса как $H$. Таким образом, $L=a$.

1) осевого сечения конуса;

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса, то есть $a$. Угол между этими сторонами (угол при вершине треугольника) равен $\alpha$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}bc \sin(\gamma)$.

Применяя эту формулу для нашего осевого сечения ($S_{сеч}$), где обе стороны равны $a$, а угол между ними $\alpha$, получаем:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha)$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha)$.

2) боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.

Из условия нам известно, что $L = a$. Для нахождения площади необходимо определить радиус основания $R$.

Рассмотрим осевое сечение. Высота конуса $H$, проведенная из вершины, делит равнобедренный треугольник сечения на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике:

• гипотенуза равна образующей $a$;
• один катет равен радиусу основания $R$;
• угол при вершине (противолежащий катету $R$) равен $\frac{\alpha}{2}$, так как высота является биссектрисой.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к гипотенузе):

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{a}$.

Отсюда выражаем радиус основания:

$R = a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное значение $R$ и данное значение $L=a$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (a \sin(\frac{\alpha}{2})) \cdot a = \pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $S_{бок} = \pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.