Номер 9.11, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.11. В основании конуса проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Угол между высотой конуса и его образующей равен $\beta$, а длина образующей равна $m$. Найдите данную хорду.

Обозначим вершину конуса как $S$, центр его основания как $O$, а высоту как $SO$. Пусть $AB$ — данная хорда в основании конуса. Тогда $SA$ и $SB$ — образующие конуса, и по условию их длина равна $m$, то есть $SA = SB = m$. Радиус основания конуса $OA=OB=R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, образованный высотой конуса $SO$, радиусом основания $OA$ и образующей $SA$. В этом треугольнике $\angle SOA = 90^\circ$. По условию, угол между высотой $SO$ и образующей $SA$ равен $\beta$, следовательно, $\angle OSA = \beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ мы можем найти радиус основания $R$. Синус угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета $OA$ к гипотенузе $SA$:
$\sin(\beta) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{m}$
Отсюда выражаем радиус основания:
$R = m \sin(\beta)$

Теперь рассмотрим основание конуса, которое представляет собой круг с центром $O$ и радиусом $R$. В этом круге проведена хорда $AB$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен градусной мере дуги, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ с боковыми сторонами $OA = OB = R$ и углом $\angle AOB = \alpha$ между ними. Длину хорды $AB$ можно найти, например, по теореме косинусов:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
$AB^2 = R^2 + R^2 - 2 R^2 \cos(\alpha) = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$AB^2 = 2R^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, находим длину хорды:
$AB = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

На последнем шаге подставим выражение для радиуса $R = m \sin(\beta)$, найденное ранее, в формулу для длины хорды $AB$:
$AB = 2(m \sin(\beta)) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2m \sin(\beta) \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2m \sin(\beta) \sin(\frac{\alpha}{2})$