Номер 9.8, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.8. Высота конуса равна $4\sqrt{5}$ см, а расстояние от центра основания до середины образующей конуса — 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Для решения задачи нам нужно найти значения $R$ и $L$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $L$ — гипотенузой.

По условию, высота конуса $H = 4\sqrt{5}$ см. Расстояние от центра основания до середины образующей равно 6 см. В рассматриваемом нами прямоугольном треугольнике это расстояние представляет собой медиану, проведенную из вершины прямого угла (центра основания) к гипотенузе (образующей).

Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Обозначим эту медиану как $m$. Тогда: $m = \frac{1}{2} L$ Поскольку $m = 6$ см, мы можем найти длину образующей $L$: $6 = \frac{1}{2} L$ $L = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь, зная высоту $H$ и образующую $L$, мы можем найти радиус основания $R$, используя теорему Пифагора ($L^2 = H^2 + R^2$): $R^2 = L^2 - H^2$ $R^2 = 12^2 - (4\sqrt{5})^2 = 144 - (16 \cdot 5) = 144 - 80 = 64$ $R = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R (R + L) = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 12) = \pi \cdot 8 \cdot 20 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².