Номер 9.13, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.13. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $60^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. Нахождение длины образующей конуса (l)

Сечение конуса, проходящее через две образующие, представляет собой треугольник. Пусть вершина конуса — точка $S$, а точки пересечения образующих с основанием — $A$ и $B$. Тогда сечение — это треугольник $SAB$.

По условию, стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса, следовательно, $SA = SB = l$. Угол между этими образующими $\angle ASB = 60^\circ$.

Треугольник $SAB$ является равнобедренным, так как $SA = SB$. Поскольку угол при вершине в равнобедренном треугольнике равен $60^\circ$, то и углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Это означает, что все его стороны равны: $SA = SB = AB = l$. По условию, плоскость пересекает основание по хорде $AB$ длиной 8 см. Следовательно, длина образующей $l = 8$ см.

2. Нахождение радиуса основания конуса (R)

Рассмотрим основание конуса — окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ длиной 8 см стягивает дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на эту дугу, $\angle AOB$, равен градусной мере дуги, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности ($OA = OB = R$), и прямоугольным, так как $\angle AOB = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $AOB$:

$OA^2 + OB^2 = AB^2$

$R^2 + R^2 = 8^2$

$2R^2 = 64$

$R^2 = 32$

$R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности конуса (S_бок)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$

Подставим найденные значения $R = 4\sqrt{2}$ см и $l = 8$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 8 = 32\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}\pi$ см$^2$.