Номер 9.15, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.15. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при основании вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны равны $AB = BC$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону $AB$.

Полученное тело вращения состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Первый конус образован вращением стороны $AC$, а второй — вращением стороны $BC$. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Сначала найдем длины образующих конусов. Образующей первого конуса является основание треугольника $AC$, ее длина $l_1 = a$. Образующей второго конуса является боковая сторона $BC$. Найдем ее длину. Угол при вершине треугольника $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$ и формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:

$\frac{a}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)}$

Отсюда длина боковой стороны (и второй образующей):

$l_2 = BC = \frac{a \sin(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Теперь найдем радиус общего основания. Радиус $R$ общего основания конусов равен длине высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти как $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CH$. Также площадь можно найти по формуле $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA)$. Приравнивая эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} AB \cdot CH = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA)$

Поскольку $AB=BC$, эти стороны сокращаются:

$CH = AC \cdot \sin(\angle BCA)$

$R = a \sin(\alpha)$

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$):

$S = S_1 + S_2 = \pi R l_1 + \pi R l_2$

Подставляем найденные значения $R$, $l_1$ и $l_2$:

$S = \pi (a \sin(\alpha)) \cdot a + \pi (a \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)$

$S = \pi a^2 \sin(\alpha) + \frac{\pi a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\alpha)}$

$S = \pi a^2 \sin(\alpha) + \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha)$

Вынося общий множитель $\pi a^2$ за скобки, получаем окончательный результат:

$S = \pi a^2 \left(\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\tan(\alpha)\right)$

Ответ: $S = \pi a^2 \left(\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\tan(\alpha)\right)$