Номер 9.14, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.14. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, представляет собой два конуса, соединенных основаниями. Поверхность этого тела состоит из боковых поверхностей этих двух конусов.

Даны катеты прямоугольного треугольника: $a = 5$ см и $b = 12$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Найдем радиус общего основания конусов $r$. Этот радиус равен высоте $h$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Приравнивая правые части, получаем $a \cdot b = c \cdot h$, откуда $h = \frac{a \cdot b}{c}$.

Подставляем значения:

$r = h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ см.

3. Найдем площадь поверхности тела вращения. Она равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$). Образующими этих конусов являются катеты исходного треугольника, то есть $l_1 = a = 5$ см и $l_2 = b = 12$ см. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь поверхности всего тела $S_{тела}$:

$S_{тела} = S_1 + S_2 = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

Подставляем найденные значения $r$, $l_1$ и $l_2$:

$S_{тела} = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (5 + 12) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13}$ см².

Ответ: $\frac{1020\pi}{13}$ см².