Номер 9.18, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.18. Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом $45^{\circ}$ вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Анализ геометрии трапеции

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, причем $BC$ — меньшее основание. Пусть $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Острый угол трапеции — это $\angle D = 45^\circ$.

По условию, основания равны $BC = 3$ см и $AD = 4$ см.

Для нахождения высоты трапеции и длины второй боковой стороны проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$, следовательно:

$AB = CH$ (высота трапеции, обозначим ее $h$)

$AH = BC = 3$ см

Рассмотрим отрезок $HD$ на большем основании:

$HD = AD - AH = 4 - 3 = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $\angle CHD = 90^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $CHD$ является равнобедренным, и $CH = HD = 1$ см.

Таким образом, высота трапеции $h = AB = CH = 1$ см.

Найдем длину наклонной боковой стороны $CD$ по теореме Пифагора для треугольника $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$CD = \sqrt{2}$ см.

2. Определение тела вращения и его поверхности

Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание $BC$. Поверхность тела вращения будет состоять из трех частей, образованных вращением сторон $AB$, $AD$ и $CD$. Сторона $BC$ лежит на оси вращения и не образует поверхности.

$S_{пов} = S_{AB} + S_{AD} + S_{CD}$

3. Расчет площадей поверхностей

• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AB$ ($S_{AB}$)
  Сторона $AB$ перпендикулярна оси вращения $BC$. При вращении она образует круг радиусом $r_1 = AB = 1$ см.
  $S_{AB} = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.
• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AD$ ($S_{AD}$)
  Сторона $AD$ параллельна оси вращения $BC$, и расстояние между ними равно высоте трапеции $h=1$ см. При вращении сторона $AD$ образует боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r_2 = h = 1$ см, а его высота (длина образующей) $l_2 = AD = 4$ см.
  $S_{AD} = 2 \pi r_2 l_2 = 2 \pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi \text{ см}^2$.
• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $CD$ ($S_{CD}$)
  Сторона $CD$ является наклонной. При вращении вокруг оси $BC$ она образует боковую поверхность усеченного конуса. Однако, поскольку точка $C$ лежит на оси вращения, расстояние от нее до оси равно нулю. Это означает, что фигура является полноценным конусом, вершина которого находится в точке, где прямая $CD$ пересекает ось вращения.
  Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi R l$, где $l$ — длина образующей, а $R$ — радиус основания.
  В нашем случае образующей является сторона $CD$, ее длина $l_3 = CD = \sqrt{2}$ см.
  Радиусом основания конуса является расстояние от точки $D$ до оси вращения (прямой $BC$), которое равно высоте трапеции $h=1$ см. Итак, $R_3 = h = 1$ см.
  $S_{CD} = \pi R_3 l_3 = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2} \text{ см}^2$.

4. Нахождение общей площади поверхности

Суммируем площади всех трех поверхностей:

$S_{пов} = S_{AB} + S_{AD} + S_{CD} = \pi + 8\pi + \pi\sqrt{2} = 9\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Ответ: $\pi(9 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.