Номер 9.25, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.25. Через две образующие конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол $\alpha$. Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно $a$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите радиус основания конуса.

Введем обозначения. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $R$ — искомый радиус основания, а $H=SO$ — высота конуса. Пусть секущая плоскость проходит через образующие $SA$ и $SB$, а линия ее пересечения с плоскостью основания — хорда $AB$.

Угол $\beta$ между образующей и плоскостью основания — это угол между самой образующей (например, $SA$) и ее проекцией на эту плоскость (радиусом $OA$). Таким образом, в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$), угол $\angle SAO = \beta$. Из этого треугольника мы можем выразить высоту конуса $H$ через радиус $R$:$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \tan(\beta)$.

Угол $\alpha$ между секущей плоскостью ($SAB$) и плоскостью основания является двугранным углом. Для его измерения построим соответствующий линейный угол. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$ (как отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды) и $SM \perp AB$ (так как $\triangle SAB$ равнобедренный с основанием $AB$, его медиана $SM$ является и высотой). Следовательно, $\angle SMO$ — линейный угол данного двугранного угла, и по условию $\angle SMO = \alpha$.

Расстояние от центра основания $O$ до секущей плоскости $SAB$ равно $a$. Это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $SAB$. Так как плоскость $SOM$ перпендикулярна прямой $AB$ (линии пересечения плоскостей), то перпендикуляр $OH$ будет лежать в плоскости $SOM$. Таким образом, $OH$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$), проведенной к гипотенузе $SM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHM$, в котором гипотенуза $OM$, катет $OH=a$ и $\angle SMO = \alpha$. Из него находим $OM$:$ \sin(\alpha) = \frac{OH}{OM} = \frac{a}{OM} \implies OM = \frac{a}{\sin(\alpha)} $.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ выразим высоту конуса $H=SO$ через $OM$ и угол $\alpha$:$ H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = OM \tan(\alpha) $.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $OM$:$ H = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)} $.

Мы получили два выражения для высоты конуса $H$:1. $H = R \tan(\beta)$2. $H = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Приравняв правые части этих равенств, получим уравнение для нахождения $R$:$ R \tan(\beta) = \frac{a}{\cos(\alpha)} $.

Из этого уравнения выражаем искомый радиус основания $R$:$ R = \frac{a}{\cos(\alpha) \tan(\beta)} $.

Ответ: $ \frac{a}{\cos(\alpha) \tan(\beta)} $.