Номер 9.31, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.31. Отрезок $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, $AB = 15$ см, $AC = 14$ см, $BC = 13$ см. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $MK$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для нахождения площади поверхности тела вращения необходимо вычислить площади поверхностей, образуемых вращением каждой из трех сторон треугольника ABC вокруг прямой MK, и затем сложить полученные значения.

1. Нахождение высоты треугольника и радиуса вращения

По условию, MK — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC. Это означает, что ось вращения (прямая MK) параллельна стороне AC. Расстояние от вершины B до прямой MK равно расстоянию от любой точки стороны AC до прямой MK. Это расстояние, обозначим его $r$, равно половине высоты треугольника $h_B$, проведенной из вершины B к стороне AC.

Для нахождения высоты $h_B$ сначала вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$

$S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Площадь треугольника также можно выразить через основание AC и высоту $h_B$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_B$

$84 = 7 \cdot h_B$

$h_B = \frac{84}{7} = 12$ см.

Теперь можем найти радиус вращения $r$, который является расстоянием от вершин A, C и B до оси вращения MK:

$r = \frac{h_B}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Расчет площади поверхности, образованной вращением каждой стороны

Вращение стороны AC:

Сторона AC параллельна оси вращения MK. При вращении отрезка, параллельного оси, образуется боковая поверхность цилиндра. Высота этого цилиндра равна длине отрезка $AC = 14$ см, а радиус основания равен расстоянию между отрезком и осью, то есть $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{AC}$ вычисляется по формуле:

$S_{AC} = 2\pi r l = 2\pi \cdot 6 \cdot 14 = 168\pi$ см².

Вращение стороны AB:

Поскольку MK — средняя линия, точка M является серединой стороны AB и лежит на оси вращения. Таким образом, при вращении отрезка AB образуется поверхность, состоящая из боковых поверхностей двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке M. Образующая каждого конуса равна половине длины AB: $l_{AM} = l_{MB} = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см. Радиусы оснований этих конусов равны расстоянию от точек A и B до оси вращения, то есть $r_A = r_B = r = 6$ см.

Площадь поверхности $S_{AB}$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S_{AB} = S_{AM} + S_{MB} = (\pi r_A l_{AM}) + (\pi r_B l_{MB}) = (\pi \cdot 6 \cdot 7,5) + (\pi \cdot 6 \cdot 7,5) = 45\pi + 45\pi = 90\pi$ см².

Вращение стороны BC:

Аналогично, точка K является серединой стороны BC и лежит на оси вращения. При вращении отрезка BC также образуется поверхность из двух одинаковых конусов, но с общей вершиной в точке K. Образующая каждого конуса равна $l_{BK} = l_{KC} = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ см. Радиусы оснований равны $r_B = r_C = r = 6$ см.

Площадь поверхности $S_{BC}$ равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов:

$S_{BC} = S_{BK} + S_{KC} = (\pi r_B l_{BK}) + (\pi r_C l_{KC}) = (\pi \cdot 6 \cdot 6,5) + (\pi \cdot 6 \cdot 6,5) = 39\pi + 39\pi = 78\pi$ см².

3. Нахождение общей площади поверхности тела вращения

Общая площадь поверхности тела вращения $S_{total}$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника:

$S_{total} = S_{AC} + S_{AB} + S_{BC}$

$S_{total} = 168\pi + 90\pi + 78\pi = 336\pi$ см².

Ответ: $336\pi$ см².