Номер 9.37, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.37. Радиус основания конуса и его образующая равны соответственно $\frac{2}{3}$ см и 2 см. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса, начало и конец которого совпадают с некоторой точкой окружности основания.

Для нахождения длины кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса необходимо представить эту поверхность в виде развертки. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга.

Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$. По условию, $l = 2$ см. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Вычислим ее по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания конуса.

По условию, $r = \frac{2}{3}$ см. Следовательно, длина дуги сектора:$C = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см.

Найдем центральный угол $\alpha$ сектора развертки. Длина дуги сектора связана с его радиусом $l$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) соотношением $C = l\alpha$. Выразим угол $\alpha$:$\alpha = \frac{C}{l} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$ радиан. Переведем угол в градусы для наглядности: $\alpha = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$.

Кратчайший путь на развертке представляет собой прямую линию. Поскольку путь замкнутый и начинается и заканчивается в одной точке на окружности основания, на развертке этот путь будет соединять две точки на краях сектора, которые соответствуют начальной/конечной точке на конусе. Эта прямая является хордой, стягивающей дугу сектора.

Длину этой хорды, обозначим ее $d$, можно найти, рассмотрев равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами сектора (равными $l=2$ см) и этой хордой. Угол между радиусами равен центральному углу сектора $\alpha = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для нахождения длины хорды $d$:$d^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha)$Подставим известные значения:$d^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$, получим:$d^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2})$$d^2 = 8 + 4$$d^2 = 12$$d = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.