Номер 10.2, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.2. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна $12\pi$ см$^2$. В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен $3\sqrt{3}$ см?

Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, является кругом. Пусть $r$ — радиус этого круга (сечения), а $S_{сеч}$ — его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

По условию задачи дано, что площадь сечения равна $12\pi$ см². Используя эту информацию, найдем радиус сечения $r$:
$S_{сеч} = \pi r^2 = 12\pi$
$r^2 = 12$
$r = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Плоскость сечения отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим высоту и радиус основания исходного (большого) конуса как $H$ и $R$ соответственно, а высоту и радиус основания меньшего (отсеченного) конуса как $h$ и $r$. Из условия нам известен радиус основания большого конуса: $R = 3\sqrt{3}$ см.

В подобных конусах отношение высот равно отношению радиусов оснований. Это следует из подобия их осевых сечений, которые являются равнобедренными треугольниками. Таким образом, имеем соотношение:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим известные значения радиусов $r = 2\sqrt{3}$ см и $R = 3\sqrt{3}$ см в эту пропорцию:

$\frac{h}{H} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$

Это соотношение показывает, что плоскость сечения находится на расстоянии $h = \frac{2}{3}H$ от вершины конуса.

Вопрос задачи состоит в том, в каком отношении эта плоскость делит высоту конуса, считая от вершины. Высота $H$ делится на два отрезка: первый — от вершины до сечения, длиной $h$, и второй — от сечения до основания, длиной $H-h$.

Найдем длину второго отрезка:

$H - h = H - \frac{2}{3}H = \frac{1}{3}H$.

Теперь найдем искомое отношение длины верхнего отрезка к длине нижнего:

$\frac{h}{H-h} = \frac{\frac{2}{3}H}{\frac{1}{3}H} = \frac{2}{1}$.

Таким образом, плоскость сечения делит высоту конуса в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: 2:1.