Номер 10.7, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.7. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $\angle D = 45^\circ$, $AD = 7$ см, $CD = 2\sqrt{2}$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усечённый конус. Основания трапеции $AD$ и $BC$ становятся радиусами оснований усечённого конуса, а боковая сторона $CD$ – его образующей.

Таким образом, мы имеем следующие параметры усечённого конуса:

• Радиус большего основания: $R = AD = 7$ см.
• Радиус меньшего основания: $r = BC$.
• Образующая: $l = CD = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус меньшего основания $r = BC$.

Проведём высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $AB \perp AD$ и $CE \perp AD$, то $ABCE$ – прямоугольник. Отсюда следует, что $AE = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ ($\angle CED = 90^\circ$). Нам известны гипотенуза $CD = 2\sqrt{2}$ см и угол $\angle D = 45^\circ$.

Найдём длину катета $ED$:

$ED = CD \cdot \cos(\angle D) = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ см.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AE + ED$.

Мы знаем $AD = 7$ см и $ED = 2$ см. Можем найти $AE$:

$AE = AD - ED = 7 - 2 = 5$ см.

Так как $AE = BC$, то радиус меньшего основания $r = BC = 5$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса:

$R = 7$ см,

$r = 5$ см,

$l = 2\sqrt{2}$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{бок} = \pi(7 + 5) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{2}\pi$ см$^2$.