Номер 10.10, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.10. Высота конуса равна $h$. На каком расстоянии от вершины конуса следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания?

Пусть $h$ – высота исходного конуса, а $R$ – радиус его основания. Плоскость, проведенная перпендикулярно высоте, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному.

Обозначим искомое расстояние от вершины до плоскости сечения как $x$. Это расстояние является высотой малого конуса. Пусть $r$ – это радиус сечения, которое является основанием малого конуса.

Площадь основания исходного конуса $S_{осн}$ равна $\pi R^2$. Площадь сечения $S_{сеч}$ равна $\pi r^2$.

Согласно условию задачи, площадь сечения должна быть в 3 раза меньше площади основания:

$S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{3} \implies \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{1}{3}$

Для подобных тел отношение площадей соответствующих поверхностей (в данном случае, оснований) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия нашего малого конуса к большому равен отношению их высот, то есть $\frac{x}{h}$.

Следовательно, можем записать:

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{h}\right)^2$

Подставим в это уравнение известное нам отношение площадей:

$\frac{1}{3} = \left(\frac{x}{h}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ и $h$ — положительные величины, обозначающие длину):

$\frac{x}{h} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем искомое расстояние $x$:

$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = \frac{h \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{h\sqrt{3}}{3}$