Номер 10.14, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.14. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{61}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны — образующим конуса ($l$), а высота трапеции — высоте конуса ($h$).

По условию задачи даны радиусы оснований $R = 15$ см и $r = 5$ см, а также диагональ осевого сечения $d = 4\sqrt{61}$ см.

Для нахождения высоты конуса $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения $d$, высотой $h$ и частью большего основания трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, она отсечёт на большем основании отрезок, длина которого равна $R+r$. Этот отрезок и высота $h$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Применим теорему Пифагора: $d^2 = h^2 + (R+r)^2$.
Подставим известные значения:
$(4\sqrt{61})^2 = h^2 + (15+5)^2$
$16 \cdot 61 = h^2 + 20^2$
$976 = h^2 + 400$
$h^2 = 976 - 400 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдём образующую $l$. Образующая является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $h$ и разность радиусов его оснований $R-r$.
По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.
$l^2 = 24^2 + (15-5)^2$
$l^2 = 576 + 10^2$
$l^2 = 576 + 100 = 676$
$l = \sqrt{676} = 26$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = \pi(15+5) \cdot 26$
$S_{бок} = \pi \cdot 20 \cdot 26$
$S_{бок} = 520\pi$ см².

Ответ: $520\pi$ см².