Номер 10.16, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.16. В усечённом конусе проведено осевое сечение $MM_1N_1N$ и по разные стороны от него на окружностях оснований выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.11). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 10.11

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $MM_1N_1$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей, используя вершину полного конуса, из которого был получен усеченный конус.

1. Построение вершины конуса. Продлим образующие $MM_1$ и $NN_1$, которые являются боковыми сторонами трапеции в осевом сечении, до их пересечения. Точку пересечения обозначим $S$. Эта точка является вершиной полного конуса.

2. Построение вспомогательной плоскости и ее следа. Проведем через прямую $AB$ и вершину $S$ вспомогательную плоскость $(SAB)$. Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ должна лежать на линии пересечения этих двух плоскостей. Чтобы найти эту линию, найдем пересечение следов плоскостей $(SAB)$ и $(MM_1N_1)$ на плоскости нижнего основания конуса.

Следом плоскости осевого сечения $(MM_1N_1)$ на плоскости нижнего основания является прямая $MN$.

Чтобы найти след плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания, нам нужны две точки. Одна точка, $A$, уже лежит в этой плоскости. Вторую точку найдем, продолжив образующую $SB$ до пересечения с плоскостью нижнего основания. Обозначим эту точку $B_0$. Точки $S$, $B$ и $B_0$ лежат на одной прямой. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B_0$, является следом плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания.

3. Построение линии пересечения плоскостей. Найдем точку пересечения полученных следов: $K = AB_0 \cap MN$. Точка $K$ принадлежит как плоскости $(SAB)$, так и плоскости $(MM_1N_1)$. Поскольку точка $S$ также принадлежит обеим плоскостям, то прямая $SK$ является линией их пересечения.

4. Нахождение искомой точки. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$. Так как прямая $SK$ полностью лежит в плоскости $(MM_1N_1)$, то точка $P$ должна лежать на прямой $SK$. В то же время, прямые $AB$ и $SK$ обе лежат во вспомогательной плоскости $(SAB)$, а значит, они пересекаются. Точка их пересечения $P = AB \cap SK$ и есть искомая точка.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $SK$, где $S$ — точка пересечения продолжений образующих $MM_1$ и $NN_1$; $B_0$ — точка пересечения прямой $SB$ с плоскостью нижнего основания; $K$ — точка пересечения прямых $AB_0$ и $MN$.