Номер 10.21, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.21. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Через две образующие проведена плоскость, пересекающая основания усечённого конуса по хордам, стягивающим дугу $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), и образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются хорды в основаниях усечённого конуса, а боковыми сторонами — две его образующие.

Найдём длины оснований трапеции. Пусть $a$ и $b$ — длины хорд в большем и меньшем основаниях соответственно. Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$ в окружности радиуса $\rho$, вычисляется по формуле $2\rho \sin(\frac{\alpha}{2})$. Для большего основания с радиусом $R$:$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$Для меньшего основания с радиусом $r$:$b = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём высоту $h_{tr}$ этой трапеции. Высота трапеции сечения — это расстояние между её параллельными основаниями (хордами). Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины хорд $b$ и $a$ соответственно. Тогда $h_{tr} = M_1M_2$. Рассмотрим плоскость, проходящую через ось конуса и перпендикулярную хордам. Эта плоскость содержит отрезок $M_1M_2$. Расстояние от центра большего основания до хорды $a$ равно $d_R = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{R^2 - R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R\cos(\frac{\alpha}{2})$. Аналогично, расстояние от центра меньшего основания до хорды $b$ равно $d_r = r\cos(\frac{\alpha}{2})$. В сечении этой плоскостью фигура, образованная осью конуса $H$, отрезками $d_R$, $d_r$ и высотой трапеции $h_{tr}$, является прямоугольной трапецией. По теореме Пифагора для этой трапеции:$h_{tr}^2 = H^2 + (d_R - d_r)^2$, где $H$ — высота усечённого конуса.$d_R - d_r = (R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})$Высоту усечённого конуса $H$ найдём из прямоугольного треугольника в осевом сечении конуса, образованного образующей, высотой и разностью радиусов $R-r$. Угол между образующей и основанием равен $\beta$, следовательно:$\tan\beta = \frac{H}{R-r}$, откуда $H = (R-r)\tan\beta$. Подставим $H$ и $d_R - d_r$ в выражение для $h_{tr}^2$:$h_{tr}^2 = ((R-r)\tan\beta)^2 + ((R-r)\cos\frac{\alpha}{2})^2 = (R-r)^2(\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2})$$h_{tr} = (R-r)\sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{tr}$. Полусумма оснований:$\frac{a+b}{2} = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2}) + 2r \sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = (R+r) \sin(\frac{\alpha}{2})$Подставим найденные значения в формулу площади:$S = (R+r) \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot (R-r)\sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$$S = (R^2-r^2) \sin(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$Преобразуем выражение:$S = (R^2-r^2) \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta} + \cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{R^2-r^2}{\cos\beta} \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\sin^2\beta + \cos^2\beta\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Ответ: $S = \frac{R^2-r^2}{\cos\beta} \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\sin^2\beta + \cos^2\beta\cos^2\frac{\alpha}{2}}$