Страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.20. Через две образующие усечённого конуса, угол между которыми равен $90^\circ$, проведена плоскость, пересекающая большее основание по хорде длиной $a$, а меньшее — по хорде длиной $b$ и отсекающая от окружности каждого основания дугу, градусная мера которой $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — длина образующей. Для решения задачи необходимо выразить $R$, $r$ и $l$ через заданные в условии величины $a$ и $b$.

Найдём радиусы оснований. В окружности радиуса $R'$ хорда $c$, стягивающая дугу в $120^\circ$, является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R'$ и углом между ними $120^\circ$ (центральный угол). По теореме косинусов для этого треугольника: $c^2 = (R')^2 + (R')^2 - 2R' \cdot R' \cos(120^\circ) = 2(R')^2(1 - (-\frac{1}{2})) = 3(R')^2$, откуда $c = R'\sqrt{3}$. Следовательно, радиус основания можно выразить через длину хорды как $R' = \frac{c}{\sqrt{3}}$. Для большего основания с хордой длиной $a$ радиус $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для меньшего основания с хордой длиной $b$ радиус $r = \frac{b}{\sqrt{3}}$.

Теперь определим длину образующей $l$. Секущая плоскость проходит через две образующие, угол между которыми равен $90^\circ$. Это означает, что если достроить усечённый конус до полного, то эти образующие пересекутся в его вершине под прямым углом. Рассмотрим сечение полного конуса этой плоскостью. В сечении получится равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является хорда $a$, а катетами — образующие полного конуса $L$. Из теоремы Пифагора следует, что $a^2 = L^2+L^2 = 2L^2$, откуда $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Аналогично, для малого (отсечённого) конуса его образующая $l'$ связана с хордой $b$ соотношением $l' = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Длина образующей усечённого конуса $l$ равна разности длин образующих полного и отсечённого конусов: $l = L - l' = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Подставим найденные выражения для $R$, $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi\left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right) = \pi \frac{a+b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a-b}{\sqrt{2}} = \pi \frac{a^2-b^2}{\sqrt{6}}$.

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем окончательный результат:

$S_{бок} = \frac{\pi(a^2-b^2)\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{6}}{6}(a^2-b^2)$.

10.21. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Через две образующие проведена плоскость, пересекающая основания усечённого конуса по хордам, стягивающим дугу $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), и образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются хорды в основаниях усечённого конуса, а боковыми сторонами — две его образующие.

Найдём длины оснований трапеции. Пусть $a$ и $b$ — длины хорд в большем и меньшем основаниях соответственно. Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$ в окружности радиуса $\rho$, вычисляется по формуле $2\rho \sin(\frac{\alpha}{2})$. Для большего основания с радиусом $R$:$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$Для меньшего основания с радиусом $r$:$b = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём высоту $h_{tr}$ этой трапеции. Высота трапеции сечения — это расстояние между её параллельными основаниями (хордами). Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины хорд $b$ и $a$ соответственно. Тогда $h_{tr} = M_1M_2$. Рассмотрим плоскость, проходящую через ось конуса и перпендикулярную хордам. Эта плоскость содержит отрезок $M_1M_2$. Расстояние от центра большего основания до хорды $a$ равно $d_R = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{R^2 - R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = R\cos(\frac{\alpha}{2})$. Аналогично, расстояние от центра меньшего основания до хорды $b$ равно $d_r = r\cos(\frac{\alpha}{2})$. В сечении этой плоскостью фигура, образованная осью конуса $H$, отрезками $d_R$, $d_r$ и высотой трапеции $h_{tr}$, является прямоугольной трапецией. По теореме Пифагора для этой трапеции:$h_{tr}^2 = H^2 + (d_R - d_r)^2$, где $H$ — высота усечённого конуса.$d_R - d_r = (R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})$Высоту усечённого конуса $H$ найдём из прямоугольного треугольника в осевом сечении конуса, образованного образующей, высотой и разностью радиусов $R-r$. Угол между образующей и основанием равен $\beta$, следовательно:$\tan\beta = \frac{H}{R-r}$, откуда $H = (R-r)\tan\beta$. Подставим $H$ и $d_R - d_r$ в выражение для $h_{tr}^2$:$h_{tr}^2 = ((R-r)\tan\beta)^2 + ((R-r)\cos\frac{\alpha}{2})^2 = (R-r)^2(\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2})$$h_{tr} = (R-r)\sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{tr}$. Полусумма оснований:$\frac{a+b}{2} = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2}) + 2r \sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = (R+r) \sin(\frac{\alpha}{2})$Подставим найденные значения в формулу площади:$S = (R+r) \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot (R-r)\sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$$S = (R^2-r^2) \sin(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\tan^2\beta + \cos^2\frac{\alpha}{2}}$Преобразуем выражение:$S = (R^2-r^2) \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta} + \cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{R^2-r^2}{\cos\beta} \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\sin^2\beta + \cos^2\beta\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Ответ: $S = \frac{R^2-r^2}{\cos\beta} \sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{\sin^2\beta + \cos^2\beta\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

10.22. Ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для решения задачи разместим ромб в декартовой системе координат. Пусть вершина острого угла $A$ находится в начале координат $A(0,0)$. Пусть сторона ромба $AB$ длиной $a$ лежит на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ имеет координаты $B(a,0)$. Ось вращения, согласно условию, проходит через вершину $A$ перпендикулярно стороне $AB$, следовательно, осью вращения является ось $Oy$.

Найдем координаты остальных вершин ромба. Сторона $AD$ также имеет длину $a$ и образует с осью $Ox$ угол $\alpha$. Поэтому координаты вершины $D$ будут $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$. Вершина $C$ является результатом векторного сложения $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Таким образом, координаты вершины $C$ равны $C(a + a \cos \alpha, a \sin \alpha)$.

Поверхность тела вращения состоит из поверхностей, образованных вращением сторон ромба $AB, BC, CD$ и $DA$ вокруг оси $Oy$. Найдем площадь каждой из этих поверхностей.

1. Вращение стороны AD.
Сторона $AD$ соединяет начало координат $A(0,0)$ с точкой $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$. При вращении вокруг оси $Oy$ она образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса равен абсциссе точки $D$, то есть $r_D = a \cos \alpha$. Образующая конуса равна длине стороны $AD$, то есть $l = a$. Площадь этой поверхности:
$S_1 = S_{AD} = \pi r_D l = \pi (a \cos \alpha) a = \pi a^2 \cos \alpha$.

2. Вращение стороны CD.
Сторона $CD$ соединяет точки $D(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ и $C(a(1 + \cos \alpha), a \sin \alpha)$. Так как ординаты этих точек равны, отрезок $CD$ параллелен оси $Ox$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует плоское кольцо (annulus). Внешний радиус кольца равен абсциссе точки $C$ ($R = a(1 + \cos \alpha)$), а внутренний радиус равен абсциссе точки $D$ ($r = a \cos \alpha$).Площадь этого кольца:
$S_2 = S_{CD} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (a(1 + \cos \alpha))^2 - \pi (a \cos \alpha)^2$
$S_2 = \pi a^2 ((1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha) - \cos^2 \alpha) = \pi a^2 (1 + 2\cos \alpha)$.

3. Вращение стороны BC.
Сторона $BC$ соединяет точки $B(a,0)$ и $C(a(1 + \cos \alpha), a \sin \alpha)$. При вращении она образует боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек $B$ и $C$: $r_B = a$ и $r_C = a(1 + \cos \alpha)$. Образующая равна длине стороны $BC$, то есть $l = a$. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_3 = S_{BC} = \pi (r_B + r_C) l = \pi (a + a(1 + \cos \alpha)) a = \pi a^2 (2 + \cos \alpha)$.

4. Вращение стороны AB.
Сторона $AB$ соединяет точки $A(0,0)$ и $B(a,0)$. При вращении вокруг оси $Oy$ она образует плоский круг радиусом $r_{AB} = a$. Площадь этого круга:
$S_4 = S_{AB} = \pi r_{AB}^2 = \pi a^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей всех этих поверхностей:
$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$
$S = \pi a^2 \cos \alpha + \pi a^2 (1 + 2\cos \alpha) + \pi a^2 (2 + \cos \alpha) + \pi a^2$
$S = \pi a^2 (\cos \alpha + 1 + 2\cos \alpha + 2 + \cos \alpha + 1)$
$S = \pi a^2 (4 + 4\cos \alpha) = 4\pi a^2 (1 + \cos \alpha)$.

Используя формулу двойного угла $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, можно записать ответ в другом виде:
$S = 4\pi a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 8\pi a^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $4\pi a^2 (1 + \cos \alpha)$ или $8\pi a^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

10.23. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно к боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $BC=a$ и углом при вершине $\angle BAC = \alpha$. Боковые стороны треугольника равны: $AB = AC = b$. Ось вращения $l$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна боковой стороне, например, $AC$.

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площадей поверхностей, образованных вращением боковой стороны $AB$ ($S_{AB}$) и основания $BC$ ($S_{BC}$). Сторона $AC$ лежит на прямой, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку на оси, поэтому при вращении она образует плоский круг (диск), который не является частью внешней поверхности тела вращения.

Найдем длину боковой стороны $b$ через $a$ и $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\alpha = 2b^2(1 - \cos\alpha)$Используя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4b^2\sin^2(\alpha/2)$Отсюда выразим $b$:$b = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$

Теперь найдем площади поверхностей вращения.

1. Поверхность, образованная вращением стороны AB

Сторона $AB$ при вращении вокруг оси $l$ образует боковую поверхность конуса. Вершина конуса находится в точке $A$. Радиус основания этого конуса равен расстоянию от точки $B$ до оси вращения $l$. Обозначим это расстояние $r_B$. Поскольку ось $l$ перпендикулярна $AC$, расстояние от $B$ до $l$ равно проекции отрезка $AB$ на прямую, содержащую $AC$, умноженной на косинус угла между $AB$ и этой прямой. Угол между $AB$ и $AC$ равен $\alpha$. Расстояние от B до оси l равно $AB \cdot \cos(\angle(AB, AC)) = b \cos\alpha$. Итак, $r_B = b \cos\alpha$. Образующая конуса равна длине стороны $AB$, то есть $b$. Площадь боковой поверхности конуса:$S_{AB} = \pi \cdot r_B \cdot b = \pi (b \cos\alpha) b = \pi b^2 \cos\alpha$

2. Поверхность, образованная вращением стороны BC

Сторона $BC$ при вращении вокруг оси $l$ образует боковую поверхность усеченного конуса. Образующая этого усеченного конуса равна длине основания $a$. Радиусы оснований усеченного конуса равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения $l$. Радиус, соответствующий точке $B$: $r_B = b \cos\alpha$. Радиус, соответствующий точке $C$: $r_C$ равен расстоянию от точки $C$ до оси $l$. Так как ось $l$ проходит через $A$ и перпендикулярна $AC$, это расстояние равно длине отрезка $AC$, то есть $r_C = b$. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:$S_{BC} = \pi (r_B + r_C) a = \pi (b \cos\alpha + b) a = \pi ab(1 + \cos\alpha)$

3. Общая площадь поверхности

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме найденных площадей:$S = S_{AB} + S_{BC} = \pi b^2 \cos\alpha + \pi ab(1 + \cos\alpha)$

Подставим в это выражение $b = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$:$S = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 \cos\alpha + \pi a \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right) (1 + \cos\alpha)$$S = \frac{\pi a^2 \cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)} + \frac{\pi a^2 (1 + \cos\alpha)}{2\sin(\alpha/2)}$

Приведем к общему знаменателю $4\sin^2(\alpha/2)$:$S = \frac{\pi a^2 \cos\alpha + \pi a^2 (1 + \cos\alpha) \cdot 2\sin(\alpha/2)}{4\sin^2(\alpha/2)}$$S = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \left( \cos\alpha + 2\sin(\alpha/2)(1 + \cos\alpha) \right)$

Упростим выражение в скобках:$\cos\alpha + 2\sin(\alpha/2)(1 + \cos\alpha) = \cos\alpha + 2\sin(\alpha/2) + 2\sin(\alpha/2)\cos\alpha$Используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$, где $A=\alpha/2$, $B=\alpha$:$2\sin(\alpha/2)\cos\alpha = \sin(3\alpha/2) + \sin(-\alpha/2) = \sin(3\alpha/2) - \sin(\alpha/2)$Тогда выражение в скобках равно:$\cos\alpha + 2\sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2) - \sin(\alpha/2) = \cos\alpha + \sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2)$Используя формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:$\sin(\alpha/2) + \sin(3\alpha/2) = 2\sin\left(\frac{4\alpha/2}{2}\right)\cos\left(\frac{-2\alpha/2}{2}\right) = 2\sin\alpha\cos(\alpha/2)$Таким образом, выражение в скобках равно $\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2)$.

Подставляем упрощенное выражение обратно в формулу для площади:$S = \frac{\pi a^2 (\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $S = \frac{\pi a^2 (\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$

10.24. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол между его боковыми сторонами равен $ \alpha $. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC=b$. Угол между боковыми сторонами $\angle BAC = \alpha$. Площадь треугольника равна $S$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2} b \cdot b \sin(\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\alpha)$. Отсюда мы можем выразить квадрат боковой стороны:$b^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$.

Найдем длину основания $a = BC$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$a^2 = b^2 + b^2 - 2b \cdot b \cos(\alpha) = 2b^2(1-\cos(\alpha))$. Используя формулу половинного угла $1-\cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, длина основания:$a = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании (пусть это будет вершина $C$) перпендикулярно основанию $BC$. Поместим треугольник в систему координат так, чтобы вершина $C$ была в начале координат $(0,0)$, а основание $BC$ лежало на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(a, 0)$, а осью вращения будет ось $Oy$.

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон треугольника $AB$, $BC$ и $AC$.

1. Вращение основания BC:
   Отрезок $BC$ вращается вокруг оси, проходящей через его конец $C$. При этом точка $B$ описывает окружность радиуса $a$. Образуется плоский круг, площадь которого равна: $S_1 = \pi a^2$.
2. Вращение боковой стороны AC:
   При вращении отрезка $AC$ образуется боковая поверхность конуса. Вершина конуса находится в точке $C(0,0)$. Образующей является сторона $AC$, ее длина $l = b$. Радиус основания конуса равен расстоянию от точки $A$ до оси вращения (оси $Oy$). Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, делит основание пополам. Поэтому абсцисса точки $A$ равна $x_A = a/2$. Этот отрезок и есть радиус основания конуса. Площадь боковой поверхности этого конуса: $S_2 = \pi r l = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot b = \frac{1}{2}\pi ab$.
3. Вращение боковой стороны AB:
   Для нахождения площади поверхности, образованной вращением отрезка $AB$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: площадь поверхности вращения равна произведению длины отрезка на длину окружности, которую описывает центр масс (середина) этого отрезка. Длина отрезка $AB$ равна $b$. Координаты вершин: $A(a/2, h)$ (где $h$ — высота треугольника), $B(a, 0)$. Координаты середины отрезка $AB$: $M(\frac{a/2+a}{2}, \frac{h+0}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{h}{2})$. Расстояние от середины отрезка до оси вращения (оси $Oy$) равно ее абсциссе: $d = \frac{3a}{4}$. Площадь поверхности вращения: $S_3 = 2\pi d \cdot b = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot b = \frac{3}{2}\pi ab$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей этих трех поверхностей:$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi a^2 + \frac{1}{2}\pi ab + \frac{3}{2}\pi ab = \pi a^2 + 2\pi ab = \pi a(a+2b)$.

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ через $S$ и $\alpha$. Сначала выразим все через $b$ и $\alpha$:$S_{пов} = \pi (2b\sin(\frac{\alpha}{2}))(2b\sin(\frac{\alpha}{2}) + 2b) = 4\pi b^2 \sin(\frac{\alpha}{2})(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$. Теперь подставим $b^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$b^2 = \frac{2S}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{S}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$. Подставляем это в выражение для $S_{пов}$:$S_{пов} = 4\pi \left(\frac{S}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}\right) \sin(\frac{\alpha}{2})(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))$. Сокращаем $\sin(\frac{\alpha}{2})$:$S_{пов} = \frac{4\pi S(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{пов} = \frac{4\pi S(1+\sin(\frac{\alpha}{2}))}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

10.25. Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, а угол между диагоналями равен 60°. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $BC = 3$ см, $AD = 5$ см. Пусть диагональ $AC = 8$ см, а вторая диагональ равна $BD$. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Периметр трапеции $P = AB + BC + CD + AD$. Для его нахождения нужно найти длины боковых сторон $AB$ и $CD$.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем:

• $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на продолжении $AD$).
• $CE \parallel BD$ (по построению).

Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = 3$ см и $CE = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны:

• $AC = 8$ см (по условию).
• $AE = AD + DE = 5 + 3 = 8$ см.
• $CE$ — длина второй диагонали.

Угол $\angle ACE$ равен углу между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, то угол $\angle ACE$ равен углу между диагоналями трапеции $AC$ и $BD$. По условию этот угол равен $60^\circ$ (или смежный с ним $120^\circ$).

Таким образом, в треугольнике $ACE$ мы знаем две стороны $AC=8$ и $AE=8$ и угол между ними $\angle CAE$ или угол напротив стороны $AE$, $\angle ACE=60^\circ$ или $120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ACE$, чтобы найти длину стороны $CE$ (которая равна второй диагонали $BD$).

Случай 1: Угол между диагоналями $\angle ACE = 60^\circ$.

По теореме косинусов для стороны $AE$:

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos(\angle ACE)$

$8^2 = 8^2 + CE^2 - 2 \cdot 8 \cdot CE \cdot \cos(60^\circ)$

$64 = 64 + CE^2 - 16 \cdot CE \cdot \frac{1}{2}$

$0 = CE^2 - 8 \cdot CE$

$CE(CE - 8) = 0$

Так как длина стороны $CE$ не может быть равна нулю, то $CE = 8$ см.

Случай 2: Угол между диагоналями $\angle ACE = 120^\circ$.

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos(120^\circ)$

$8^2 = 8^2 + CE^2 - 2 \cdot 8 \cdot CE \cdot (-\frac{1}{2})$

$0 = CE^2 + 8 \cdot CE$

$CE(CE + 8) = 0$

Это уравнение имеет единственный неотрицательный корень $CE=0$, что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

Итак, мы установили, что вторая диагональ $BD = CE = 8$ см. Поскольку диагонали трапеции равны ($AC = BD = 8$ см), трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Теперь найдем длину боковой стороны. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$.

Точка $O$ делит диагонали в этом же отношении: $\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{3}{5}$.

Найдем длины отрезков диагоналей:

$AC = AO + CO = 8$. Так как $CO = \frac{3}{5}AO$, получаем $AO + \frac{3}{5}AO = 8 \implies \frac{8}{5}AO = 8 \implies AO = 5$ см. Тогда $CO = 3$ см.

$BD = BO + DO = 8$. Так как $BO = \frac{3}{5}DO$, получаем $DO + \frac{3}{5}DO = 8 \implies \frac{8}{5}DO = 8 \implies DO = 5$ см. Тогда $BO = 3$ см.

Острый угол между диагоналями равен $60^\circ$, значит, $\angle AOD = 60^\circ$ или $\angle AOB = 60^\circ$. Если $\angle AOD = 60^\circ$, то в $\triangle AOD$ по теореме косинусов: $AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(60^\circ) = 5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot\frac{1}{2}=25+25-25=25$. $AD=5$. Это соответствует условию. Значит, $\angle AOD = 60^\circ$, а смежный с ним угол $\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ и найдем сторону $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

$AB^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AB^2 = 34 + 15 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $CD = AB = 7$ см.

Теперь можем найти периметр трапеции:

$P = AB + BC + CD + AD = 7 + 3 + 7 + 5 = 22$ см.

Ответ: $22$ см.

10.26. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его меньшего угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Катеты равны $BC = a = 18$ см и $AC = b = 24$ см.

1. Нахождение гипотенузы и определение меньшего угла

Сначала найдем длину гипотенузы AB (обозначим ее как $c$) по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$

$c = \sqrt{900} = 30$ см.

В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Сравним длины сторон: $a=18$ см, $b=24$ см, $c=30$ см. Наименьшая сторона — это катет $a=18$ см. Следовательно, наименьший угол — это угол $A$, лежащий напротив этого катета.

2. Применение свойства биссектрисы

Нам нужно найти длину биссектрисы, проведенной из вершины меньшего угла $A$. Обозначим эту биссектрису как $AL$, где точка $L$ лежит на катете $BC$.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения длин сторон $AC=24$ и $AB=30$:

$\frac{CL}{LB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Мы также знаем, что точка $L$ лежит на катете $BC$, поэтому $CL + LB = BC = 18$ см.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{CL}{LB} = \frac{4}{5} \\ CL + LB = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $LB$: $LB = \frac{5}{4}CL$. Подставим во второе уравнение:

$CL + \frac{5}{4}CL = 18$

$\frac{9}{4}CL = 18$

$CL = \frac{18 \cdot 4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

3. Вычисление длины биссектрисы

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACL$ (угол $C$ прямой). Мы знаем длины его катетов: $AC = 24$ см и $CL = 8$ см. Биссектриса $AL$ является гипотенузой этого треугольника.

Найдем длину $AL$ по теореме Пифагора:

$AL^2 = AC^2 + CL^2$

$AL^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$

$AL = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.