Страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую пирамиду называют вписанной в конус?

2. Чем для конуса являются боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус?

3. Какую пирамиду можно вписать в конус?

4. Какую пирамиду называют описанной около конуса?

5. В каком случае говорят, что боковая грань пирамиды касается конуса?

6. Какую пирамиду можно описать около конуса?

7. Опишите, что называют усечённой пирамидой, вписанной в усечённый конус.

8. Чем для усечённого конуса являются боковые рёбра усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус?

9. Опишите, что называют усечённой пирамидой, описанной около усечённого конуса.

1. Какую пирамиду называют вписанной в конус?

Пирамиду называют вписанной в конус, если её основание вписано в основание конуса, а её вершина совпадает с вершиной конуса. Это означает, что все вершины многоугольника, который является основанием пирамиды, лежат на окружности основания конуса.

Ответ: Пирамида, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

2. Чем для конуса являются боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус?

Боковые рёбра вписанной пирамиды соединяют её вершину (которая также является вершиной конуса) с вершинами её основания. Поскольку вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса, то отрезки, соединяющие их с вершиной конуса, являются образующими конуса.

Ответ: Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

3. Какую пирамиду можно вписать в конус?

В конус можно вписать такую пирамиду, основанием которой является многоугольник, который можно вписать в окружность (то есть все его вершины лежат на одной окружности). При этом вершина пирамиды должна совпадать с вершиной конуса.

Ответ: Любую пирамиду, в основании которой лежит многоугольник, около которого можно описать окружность.

4. Какую пирамиду называют описанной около конуса?

Пирамиду называют описанной около конуса, если её вершина совпадает с вершиной конуса, а её основание описано около основания конуса. Это означает, что плоскости всех боковых граней пирамиды касаются боковой поверхности конуса, а плоскость основания пирамиды совпадает с плоскостью основания конуса, причём все стороны многоугольника-основания касаются окружности основания конуса.

Ответ: Пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а основание описано около основания конуса.

5. В каком случае говорят, что боковая грань пирамиды касается конуса?

Говорят, что боковая грань пирамиды касается конуса, если она является касательной плоскостью к конусу. Касательная плоскость к конусу имеет с ним только одну общую образующую. Для пирамиды, описанной около конуса, каждая её боковая грань касается конуса по одной из его образующих.

Ответ: Если боковая грань пирамиды имеет с конусом одну общую образующую и является касательной плоскостью к конусу.

6. Какую пирамиду можно описать около конуса?

Около конуса можно описать такую пирамиду, основанием которой является многоугольник, в который можно вписать окружность (то есть существует окружность, касающаяся всех его сторон). При этом вершина пирамиды должна совпадать с вершиной конуса.

Ответ: Любую пирамиду, в основании которой лежит многоугольник, в который можно вписать окружность.

7. Опишите, что называют усечённой пирамидой, вписанной в усечённый конус.

Усечённую пирамиду называют вписанной в усечённый конус, если одно её основание вписано в одно основание усечённого конуса, а другое основание — в другое основание усечённого конуса. Это значит, что вершины обоих оснований усечённой пирамиды лежат на соответствующих окружностях оснований усечённого конуса.

Ответ: Усечённая пирамида, у которой оба основания вписаны в соответствующие основания усечённого конуса.

8. Чем для усечённого конуса являются боковые рёбра усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус?

Боковые рёбра вписанной усечённой пирамиды соединяют соответствующие вершины её оснований. Так как вершины оснований пирамиды лежат на окружностях оснований конуса, то эти рёбра соединяют точки на одной окружности основания с соответствующими точками на другой окружности и лежат на боковой поверхности усечённого конуса. Следовательно, они являются образующими усечённого конуса.

Ответ: Боковые рёбра вписанной усечённой пирамиды являются образующими усечённого конуса.

9. Опишите, что называют усечённой пирамидой, описанной около усечённого конуса.

Усечённую пирамиду называют описанной около усечённого конуса, если одно её основание описано около одного основания усечённого конуса, а другое основание — около другого основания усечённого конуса. Это значит, что плоскости боковых граней усечённой пирамиды касаются боковой поверхности усечённого конуса, а плоскости её оснований совпадают с плоскостями оснований усечённого конуса.

Ответ: Усечённая пирамида, у которой оба основания описаны около соответствующих оснований усечённого конуса.

11.1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

11.1.

Поскольку конус описан около правильной треугольной пирамиды, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса.

Сначала найдем радиус основания конуса $R$. Он равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды — правильного треугольника со стороной $a = 12$ см.
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Далее найдем высоту конуса $H$. Она совпадает с высотой пирамиды. Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды, то есть $L = 8$ см. Высота конуса $H$, его радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$H^2 + R^2 = L^2$
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 16 \cdot 3} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Его основание равно диаметру основания конуса $D = 2R$, а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$S_{сеч} = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

11.2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота — 5 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

По условию, дана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Конус описан около этой пирамиды. Это значит, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность).

Следовательно, высота конуса $h_{к}$ равна высоте пирамиды $h_{п}$:
$h_{к} = h_{п} = 5$ см.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около квадрата, который лежит в основании пирамиды. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали.

Сторона основания (квадрата) $a = 10$ см. Найдем диагональ квадрата $d$ по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$d = 10\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$:

$R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D$, а высота — высоте конуса $h_{к}$.

Найдем диаметр основания конуса:

$D = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot h_{к}$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 5 = 5\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}$ см².

Ответ: $25\sqrt{2}$ см².

11.3. Основанием пирамиды является треугольник со стороной $a$ и противолежащим ей углом $\alpha$, а угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту и образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть $S$ – вершина пирамиды, $ABC$ – треугольник в основании, $a$ – сторона (например, $BC$), $\alpha$ – противолежащий ей угол ($\angle BAC$). Пусть $SO$ – высота пирамиды.

Так как все боковые ребра пирамиды ($SA, SB, SC$) наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, то их проекции на плоскость основания равны между собой ($OA = OB = OC$). Это означает, что точка $O$ – центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Конус, описанный около данной пирамиды, будет иметь ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO=H$. Основанием конуса будет окружность, описанная около треугольника $ABC$. Радиус этой окружности $R = OA = OB = OC$. Образующая конуса $L$ будет равна боковому ребру пирамиды ($L=SA=SB=SC$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$ (например, $\triangle SOA$). Угол между боковым ребром (образующей) и плоскостью основания по условию равен $\beta$, то есть $\angle SAO = \beta$.

1. Нахождение высоты конуса ($H$)

Сначала найдем радиус $R$ основания конуса. По теореме синусов для треугольника в основании: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Отсюда радиус описанной окружности: $ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ выразим высоту $H$: $ \tan \beta = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} $

Следовательно, высота конуса: $ H = R \tan \beta = \frac{a}{2 \sin \alpha} \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha} $

Ответ: Высота конуса равна $ \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha} $.

2. Нахождение образующей конуса ($L$)

Из того же прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ выразим образующую $L$: $ \cos \beta = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L} $

Следовательно, образующая конуса: $ L = \frac{R}{\cos \beta} = \frac{\frac{a}{2 \sin \alpha}}{\cos \beta} = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta} $

Ответ: Образующая конуса равна $ \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta} $.

11.4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 12 см. Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды, необходимо определить его радиус основания $R$ и длину образующей $l$. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$.

Поскольку конус описан около пирамиды, его основанием является круг, описанный около основания пирамиды (прямоугольного треугольника), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы, а радиус $R$ этой окружности равен половине гипотенузы. Этот радиус и будет радиусом основания конуса.
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Найдем образующую конуса $l$.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Из условия известно, что вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы, то есть в центр основания конуса. Следовательно, высота конуса $H = 12$ см.
Образующая конуса $l$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Найдем $l$ по теореме Пифагора:
$l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$.
Теперь, зная радиус $R = 5$ см и образующую $l = 13$ см, подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см$^2$.

Ответ: $65\pi$ см$^2$.

11.5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4\sqrt{7}$ см и 12 см, а боковые рёбра пирамиды равны по 17 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Поскольку конус описан около пирамиды, то основание пирамиды (прямоугольник) вписано в основание конуса (окружность), а их вершины совпадают. Это означает, что радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Найдем диагональ по теореме Пифагора, зная стороны прямоугольника $a=12$ см и $b=4\sqrt{7}$ см:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{7})^2} = \sqrt{144 + 16 \cdot 7} = \sqrt{144 + 112} = \sqrt{256} = 16$ см.
Следовательно, радиус основания конуса:
$R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Так как все боковые ребра пирамиды равны, ее высота опускается в центр описанной окружности основания (точку пересечения диагоналей прямоугольника). Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром пирамиды $L$ (которое является образующей конуса), радиусом основания конуса $R$ и высотой конуса $H$. В этом треугольнике $L$ — гипотенуза, а $R$ и $H$ — катеты.
По условию $L = 17$ см. По теореме Пифагора:
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.
Подставим найденные значения:
$S_{сеч} = 8 \cdot 15 = 120$ см².

Ответ: 120 см².

11.6. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а высота — 6 см. Найдите образующую конуса, вписанного в данную пирамиду.

По условию задачи, дана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Сторона основания (квадрата) равна $a = 4$ см, а высота пирамиды $H = 6$ см.

В эту пирамиду вписан конус. Это значит, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат).

Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$, следовательно, $h = 6$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Радиус такой окружности равен половине стороны квадрата:
$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Образующая конуса $L$, его высота $h$ и радиус основания $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $h$ и $r$ — катеты:
$L^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения в формулу:
$L^2 = 6^2 + 2^2$
$L^2 = 36 + 4$
$L^2 = 40$
$L = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

11.7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 18 см, а апофема – 9 см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является кругом, вписанным в основание пирамиды. Это означает, что высота конуса равна высоте пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $l$ и радиусом $r$ окружности, вписанной в основание. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора имеем соотношение:

$H^2 + r^2 = l^2$

Отсюда высота пирамиды (и конуса) может быть найдена как:

$H = \sqrt{l^2 - r^2}$

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 18$ см. Радиус вписанной в него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 18$ см:

$r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, используя известную апофему $l = 9$ см и вычисленный радиус $r = 3\sqrt{3}$ см, найдем высоту $H$:

$H = \sqrt{9^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 - (9 \cdot 3)} = \sqrt{81 - 27} = \sqrt{54}$ см.

Упростим полученное значение:

$H = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$ см.

Высота конуса равна высоте пирамиды.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.