Страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.4. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2 = 9;$

2) $x^2 + (y + 5)^2 + (z - 6)^2 = 25;$

3) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11;$

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 5.$

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Чтобы найти координаты центра и радиус, необходимо привести данное уравнение к этому виду.

1) Дано уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$.
Сравнивая это уравнение с общим видом, находим координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -4$ (поскольку $z+4 = z-(-4)$).
Таким образом, центр сферы — точка $C(1; 2; -4)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 9$, отсюда радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: центр $(1; 2; -4)$, радиус $R = 3$.

2) Дано уравнение: $x^2 + (y + 5)^2 + (z - 6)^2 = 25$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 + (z - 6)^2 = 25$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = -5$, $z_0 = 6$.
Таким образом, центр сферы — точка $C(0; -5; 6)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$, отсюда радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: центр $(0; -5; 6)$, радиус $R = 5$.

3) Дано уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 0)^2 = 11$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = -3$, $y_0 = 4$, $z_0 = 0$.
Таким образом, центр сферы — точка $C(-3; 4; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 11$, отсюда радиус $R = \sqrt{11}$.
Ответ: центр $(-3; 4; 0)$, радиус $R = \sqrt{11}$.

4) Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 5$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 5$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.
Таким образом, центр сферы находится в начале координат, в точке $C(0; 0; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 5$, отсюда радиус $R = \sqrt{5}$.
Ответ: центр $(0; 0; 0)$, радиус $R = \sqrt{5}$.

12.5. Как по отношению к сфере $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 100$ расположена точка:

1) $A (-6; 9; -4\sqrt{3});$

2) $B (5; 8; -5);$

3) $C (-10; -4; 1)?$

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра, а $R$ - радиус. Для данной сферы $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 100$ центр находится в точке $O(-2; 3; 0)$, а квадрат радиуса $R^2 = 100$.
Чтобы определить положение точки относительно сферы, нужно подставить ее координаты в левую часть уравнения, обозначим ее как $L = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2$, и сравнить полученное значение с $R^2=100$:
• если $L < 100$, точка находится внутри сферы;
• если $L = 100$, точка лежит на сфере;
• если $L > 100$, точка находится вне сферы.

1) $A(-6; 9; -4\sqrt{3})$;
Подставим координаты точки $A$ в выражение для $L$:
$L = (-6 + 2)^2 + (9 - 3)^2 + (-4\sqrt{3})^2 = (-4)^2 + 6^2 + 16 \cdot 3 = 16 + 36 + 48 = 100$.
Так как $L = 100$, что равно квадрату радиуса, точка $A$ расположена на сфере.
Ответ: точка расположена на сфере.

2) $B(5; 8; -5)$;
Подставим координаты точки $B$ в выражение для $L$:
$L = (5 + 2)^2 + (8 - 3)^2 + (-5)^2 = 7^2 + 5^2 + 25 = 49 + 25 + 25 = 99$.
Так как $L = 99 < 100$, что меньше квадрата радиуса, точка $B$ расположена внутри сферы.
Ответ: точка расположена внутри сферы.

3) $C(-10; -4; 1)$?
Подставим координаты точки $C$ в выражение для $L$:
$L = (-10 + 2)^2 + (-4 - 3)^2 + 1^2 = (-8)^2 + (-7)^2 + 1 = 64 + 49 + 1 = 114$.
Так как $L = 114 > 100$, что больше квадрата радиуса, точка $C$ расположена вне сферы.
Ответ: точка расположена вне сферы.

12.6. Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра $K$ и радиус $r$:

1) $K(2; 5; -12)$, $r = 2$;

2) $K(0; 5; 11)$, $r = 2\sqrt{5}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $K(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$

1)

Даны координаты центра сферы $K(2; 5; -12)$ и радиус $r = 2$. Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z - (-12))^2 = 2^2$

Упростим полученное выражение:

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 12)^2 = 4$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 12)^2 = 4$.

2)

Даны координаты центра сферы $K(0; 5; 11)$ и радиус $r = 2\sqrt{5}$. Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = (2\sqrt{5})^2$

Упростим полученное выражение. Возведем в квадрат радиус: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

$x^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = 20$

Ответ: $x^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = 20$.

12.7. Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра K и радиус r.

1) $M (-3; 1; -8)$, $r=9$;

2) $M (9; -10; 0)$, $r = 4\sqrt{2}$.

Уравнение сферы в декартовой системе координат с центром в точке $K(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ имеет следующий вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$
Для решения задачи необходимо подставить координаты центра и значение радиуса в эту формулу.

1)Даны координаты центра сферы $M(-3; 1; -8)$ и радиус $r = 9$.
В данном случае, $x_0 = -3$, $y_0 = 1$, $z_0 = -8$.
Квадрат радиуса равен $r^2 = 9^2 = 81$.
Подставляем эти значения в общую формулу уравнения сферы:
$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 + (z - (-8))^2 = 81$
Упрощая, получаем:
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 8)^2 = 81$
Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 8)^2 = 81$.

2)Даны координаты центра сферы $M(9; -10; 0)$ и радиус $r = 4\sqrt{2}$.
Здесь, $x_0 = 9$, $y_0 = -10$, $z_0 = 0$.
Вычислим квадрат радиуса: $r^2 = (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Подставляем значения в формулу:
$(x - 9)^2 + (y - (-10))^2 + (z - 0)^2 = 32$
Упрощая, получаем итоговое уравнение:
$(x - 9)^2 + (y + 10)^2 + z^2 = 32$
Ответ: $(x - 9)^2 + (y + 10)^2 + z^2 = 32$.

12.8. Составьте уравнение сферы с центром в точке $P(3; -1; 16)$, которая проходит через точку $M(-2; -4; 13)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из условия задачи известно, что центр сферы находится в точке $P(3; -1; 16)$. Следовательно, $x_0 = 3$, $y_0 = -1$, $z_0 = 16$. Подставим эти значения в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 16)^2 = R^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = R^2$

Так как сфера проходит через точку $M(-2; -4; 13)$, расстояние от центра $P$ до точки $M$ равно радиусу $R$ сферы. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $P$ и $M$:

$R^2 = PM^2 = (-2 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2 + (13 - 16)^2$

$R^2 = (-5)^2 + (-4 + 1)^2 + (-3)^2$

$R^2 = 25 + (-3)^2 + (-3)^2$

$R^2 = 25 + 9 + 9 = 43$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 43$ в уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = 43$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = 43$

12.9. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C (-3; 6; 5)$, $D (1; -4; -5)$.

Общее уравнение сферы имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $O(x_0; y_0; z_0)$ является центром сферы, а $R$ — ее радиусом.

1. Нахождение центра сферы
Поскольку отрезок $CD$ является диаметром сферы, ее центр $O$ находится в середине этого отрезка. Для нахождения координат центра $O(x_0; y_0; z_0)$ используем формулы координат середины отрезка для точек $C(-3; 6; 5)$ и $D(1; -4; -5)$: $x_0 = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_0 = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_0 = \frac{z_C + z_D}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; 1; 0)$.

2. Нахождение радиуса сферы
Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $CD$. Найдем квадрат радиуса $R^2$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Через длину диаметра.
Найдем квадрат длины диаметра $CD$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2$
$CD^2 = (1 - (-3))^2 + (-4 - 6)^2 + (-5 - 5)^2 = 4^2 + (-10)^2 + (-10)^2 = 16 + 100 + 100 = 216$
Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра: $R^2 = \frac{CD^2}{4} = \frac{216}{4} = 54$

Способ 2: Через расстояние от центра до точки на сфере.
Радиус — это расстояние от центра сферы $O(-1; 1; 0)$ до любой точки на ней, например, до точки $C(-3; 6; 5)$. Найдем квадрат этого расстояния: $R^2 = (x_C - x_0)^2 + (y_C - y_0)^2 + (z_C - z_0)^2$
$R^2 = (-3 - (-1))^2 + (6 - 1)^2 + (5 - 0)^2 = (-2)^2 + 5^2 + 5^2 = 4 + 25 + 25 = 54$

3. Составление уравнения сферы
Теперь, зная координаты центра $O(-1; 1; 0)$ и квадрат радиуса $R^2 = 54$, подставим эти значения в общее уравнение сферы: $(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 54$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$

12.10. Найдите координаты точки пересечения сферы $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$ с осями координат.

Дано уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$.

Чтобы найти точки пересечения сферы с осями координат, нужно поочередно рассмотреть пересечение с каждой осью. Точки, лежащие на координатных осях, имеют две из трех координат равными нулю.

Пересечение с осью Ox

Точки на оси Ox (оси абсцисс) имеют координаты вида $(x, 0, 0)$. Чтобы найти их, подставим $y = 0$ и $z = 0$ в уравнение сферы:

$(x - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$(x - 2)^2 + 9 + 36 = 49$

$(x - 2)^2 + 45 = 49$

$(x - 2)^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$:

$x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$

$x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$

Таким образом, сфера пересекает ось Ox в двух точках с координатами $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy

Точки на оси Oy (оси ординат) имеют координаты вида $(0, y, 0)$. Подставим $x = 0$ и $z = 0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$4 + (y + 3)^2 + 36 = 49$

$(y + 3)^2 + 40 = 49$

$(y + 3)^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $y$:

$y + 3 = 3 \implies y_1 = 0$

$y + 3 = -3 \implies y_2 = -6$

Таким образом, сфера пересекает ось Oy в двух точках с координатами $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Пересечение с осью Oz

Точки на оси Oz (оси аппликат) имеют координаты вида $(0, 0, z)$. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$

$4 + 9 + (z - 6)^2 = 49$

$13 + (z - 6)^2 = 49$

$(z - 6)^2 = 36$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $z$:

$z - 6 = 6 \implies z_1 = 12$

$z - 6 = -6 \implies z_2 = 0$

Таким образом, сфера пересекает ось Oz в двух точках с координатами $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.

12.11. Сфера с центром в точке $A (-1; 3; 2)$ пересекается с осью ординат в точках $B (0; -1; 0)$ и $C$. Найдите координаты точки $C$.

По условию, центр сферы находится в точке $A(-1; 3; 2)$. Сфера пересекает ось ординат (ось Oy) в точках $B(0; -1; 0)$ и $C$.

Все точки, лежащие на сфере, равноудалены от её центра. Расстояние от центра до любой точки на сфере равно радиусу $R$. Найдем квадрат радиуса сферы, вычислив квадрат расстояния от центра $A$ до точки $B$, лежащей на сфере.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

$R^2 = |AB|^2 = (0 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 1^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 1 + 16 + 4 = 21$.

Уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Подставив координаты центра $A(-1; 3; 2)$ и найденное значение $R^2=21$, получим уравнение нашей сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 21$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 21$

Точка $C$ также лежит на оси ординат, поэтому её координаты имеют вид $(0; y_C; 0)$. Поскольку точка $C$ лежит на сфере, её координаты должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим $x=0$ и $z=0$ в уравнение сферы, чтобы найти возможные значения ординаты $y_C$:

$(0 + 1)^2 + (y_C - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 21$

$1 + (y_C - 3)^2 + 4 = 21$

$(y_C - 3)^2 + 5 = 21$

$(y_C - 3)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных решения:

$y_C - 3 = 4 \implies y_C = 7$

$y_C - 3 = -4 \implies y_C = -1$

Мы получили две ординаты точек пересечения сферы с осью Oy: $y = 7$ и $y = -1$. Ордината точки $B$ равна -1. Следовательно, ордината точки $C$ равна 7. Таким образом, координаты точки $C$ равны $(0; 7; 0)$.

Ответ: $C(0; 7; 0)$.

12.12. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M(-6; 2; -3)$, центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен 7.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Согласно условию задачи, радиус сферы $R = 7$, а ее центр принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что координаты центра сферы $y_0 = 0$ и $z_0 = 0$. Таким образом, центр сферы — это точка $C(x_0; 0; 0)$.

Подставив эти данные в общее уравнение, получаем уравнение для искомой сферы:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 7^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 + z^2 = 49$

Также известно, что сфера проходит через точку $M(-6; 2; -3)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим их в уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $x_0$:

$(-6 - x_0)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 49$

$(-(6 + x_0))^2 + 4 + 9 = 49$

$(x_0 + 6)^2 + 13 = 49$

$(x_0 + 6)^2 = 49 - 13$

$(x_0 + 6)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных решения:

1) $x_0 + 6 = 6 \implies x_0 = 0$

2) $x_0 + 6 = -6 \implies x_0 = -12$

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие заданным условиям.

1. Для центра $C_1(0; 0; 0)$ уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 49$.

2. Для центра $C_2(-12; 0; 0)$ уравнение сферы: $(x - (-12))^2 + y^2 + z^2 = 49$, что равносильно $(x + 12)^2 + y^2 + z^2 = 49$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ или $(x + 12)^2 + y^2 + z^2 = 49$.

12.13. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $N(-1; 2; -2)$, центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что радиус сферы $R = 3$, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = 3^2 = 9$.

Центр сферы принадлежит оси аппликат (оси $Oz$). Это означает, что координаты $x_0$ и $y_0$ центра равны нулю. Таким образом, центр сферы имеет координаты $C(0; 0; c)$.

Подставив известные данные в общее уравнение, получим уравнение сферы в виде:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - c)^2 = 9$

$x^2 + y^2 + (z - c)^2 = 9$

Сфера проходит через точку $N(-1; 2; -2)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению сферы. Подставим значения $x = -1$, $y = 2$, $z = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $c$:

$(-1)^2 + 2^2 + (-2 - c)^2 = 9$

$1 + 4 + (-2 - c)^2 = 9$

$5 + (-1 \cdot (2 + c))^2 = 9$

$5 + (2 + c)^2 = 9$

$(2 + c)^2 = 9 - 5$

$(2 + c)^2 = 4$

Данное квадратное уравнение имеет два решения:

1) $2 + c = 2 \implies c_1 = 0$

2) $2 + c = -2 \implies c_2 = -4$

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.

В первом случае центр сферы находится в точке $C_1(0; 0; 0)$, и уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + z^2 = 9$

Во втором случае центр сферы находится в точке $C_2(0; 0; -4)$, и уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + (z - (-4))^2 = 9$

$x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ или $x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9$.

12.14. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$ является уравнением сферы, укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, и найти её центр и радиус, необходимо привести его к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра, а $R$ — это радиус.

Исходное уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + (z^2 + 2z) + 70 = 0$

Далее, для каждой группы применим метод выделения полного квадрата по формуле $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.

Для переменной $x$:

$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x - 5)^2 - 25$

Для переменной $y$:

$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2) - 7^2 = (y + 7)^2 - 49$

Для переменной $z$:

$z^2 + 2z = z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 = (z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (z + 1)^2 - 1$

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

$((x - 5)^2 - 25) + ((y + 7)^2 - 49) + ((z + 1)^2 - 1) + 70 = 0$

Перегруппируем слагаемые, отделяя полные квадраты от констант:

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 25 - 49 - 1 + 70 = 0$

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 75 + 70 = 0$

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 5 = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 = 5$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения ($R^2 = 5$) является положительным числом, данное уравнение действительно задает сферу в трехмерном пространстве. Это доказывает первое утверждение задачи.

Сравнивая уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Координаты центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ равны $(5, -7, -1)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 5$, следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(5, -7, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.

12.15. Найдите координаты центра и радиус сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 16y + 6z = 0$.

Для нахождения координат центра и радиуса сферы необходимо привести ее уравнение к каноническому виду: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Исходное уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 16y + 6z = 0$.

Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты. Для этого будем использовать формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 + (y^2 - 16y) + (z^2 + 6z) = 0$

Для выражения $(y^2 - 16y)$ необходимо добавить и вычесть $(16/2)^2 = 8^2 = 64$, чтобы получить полный квадрат.

$y^2 - 16y = (y^2 - 16y + 64) - 64 = (y - 8)^2 - 64$

Для выражения $(z^2 + 6z)$ необходимо добавить и вычесть $(6/2)^2 = 3^2 = 9$, чтобы получить полный квадрат.

$z^2 + 6z = (z^2 + 6z + 9) - 9 = (z + 3)^2 - 9$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение сферы:

$x^2 + ((y - 8)^2 - 64) + ((z + 3)^2 - 9) = 0$

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:

$x^2 + (y - 8)^2 + (z + 3)^2 = 64 + 9$

$x^2 + (y - 8)^2 + (z + 3)^2 = 73$

Теперь уравнение имеет канонический вид. Сравнивая его с формулой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус.

Координаты центра $(x_0, y_0, z_0)$:
$x_0 = 0$
$y_0 = 8$
$z_0 = -3$
Таким образом, центр сферы находится в точке $C(0, 8, -3)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 73$, следовательно, радиус $R = \sqrt{73}$.

Ответ: координаты центра $(0, 8, -3)$, радиус $R = \sqrt{73}$.

12.16. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точки $A (1; -1; 2)$ и $B (\sqrt{17}; 1; 6)$, центр сферы принадлежит координатной плоскости $yz$, а радиус сферы равен $\sqrt{46}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы принадлежит координатной плоскости $yz$. Это означает, что координата $x_0$ центра равна нулю. Таким образом, центр сферы имеет координаты $C(0; y_0; z_0)$.

Также по условию радиус сферы равен $R = \sqrt{46}$, следовательно, $R^2 = 46$.

Подставив известные данные в общее уравнение, получаем уравнение искомой сферы в виде:

$x^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 46$

Известно, что сфера проходит через точки $A(1; -1; 2)$ и $B(\sqrt{17}; 1; 6)$. Это значит, что координаты этих точек должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим поочередно координаты точек $A$ и $B$ в полученное уравнение, чтобы составить систему для нахождения $y_0$ и $z_0$.

Для точки $A(1; -1; 2)$:

$1^2 + (-1 - y_0)^2 + (2 - z_0)^2 = 46$

$1 + (y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 46$

$(y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 45$

Для точки $B(\sqrt{17}; 1; 6)$:

$(\sqrt{17})^2 + (1 - y_0)^2 + (6 - z_0)^2 = 46$

$17 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 46$

$(y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 29$

Теперь решим систему двух уравнений с двумя неизвестными $y_0$ и $z_0$:

$\begin{cases} (y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 45 \\ (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 29 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} y_0^2 + 2y_0 + 1 + z_0^2 - 4z_0 + 4 = 45 \\ y_0^2 - 2y_0 + 1 + z_0^2 - 12z_0 + 36 = 29 \end{cases}$

Приведем подобные члены:

$\begin{cases} y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 4z_0 = 40 \\ y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0 = -8 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от квадратичных членов:

$(y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 4z_0) - (y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0) = 40 - (-8)$

$4y_0 + 8z_0 = 48$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y_0 + 2z_0 = 12$

Выразим $y_0$ через $z_0$:

$y_0 = 12 - 2z_0$

Подставим это выражение для $y_0$ в одно из упрощенных уравнений системы, например, во второе: $y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0 = -8$.

$(12 - 2z_0)^2 + z_0^2 - 2(12 - 2z_0) - 12z_0 = -8$

$(144 - 48z_0 + 4z_0^2) + z_0^2 - 24 + 4z_0 - 12z_0 = -8$

Приведем подобные члены:

$5z_0^2 - 56z_0 + 120 = -8$

$5z_0^2 - 56z_0 + 128 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $z_0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 = 24^2$

Найдем корни уравнения:

$z_{0_1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2$

$z_{0_2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

Мы получили два возможных значения для координаты $z_0$ центра сферы. Теперь найдем соответствующие значения для $y_0$ используя формулу $y_0 = 12 - 2z_0$.

1. Если $z_0 = 3.2$, то $y_0 = 12 - 2(3.2) = 12 - 6.4 = 5.6$. Центр сферы $C_1(0; 5.6; 3.2)$.

2. Если $z_0 = 8$, то $y_0 = 12 - 2(8) = 12 - 16 = -4$. Центр сферы $C_2(0; -4; 8)$.

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи. Запишем уравнение для каждой из них.

1. Уравнение сферы с центром $C_1(0; 5.6; 3.2)$ и радиусом $R^2 = 46$:

$x^2 + (y - 5.6)^2 + (z - 3.2)^2 = 46$

2. Уравнение сферы с центром $C_2(0; -4; 8)$ и радиусом $R^2 = 46$:

$x^2 + (y - (-4))^2 + (z - 8)^2 = 46$

$x^2 + (y + 4)^2 + (z - 8)^2 = 46$

Ответ: $x^2 + (y - 5.6)^2 + (z - 3.2)^2 = 46$ или $x^2 + (y + 4)^2 + (z - 8)^2 = 46$.

12.17. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$ и начало координат, центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, а радиус сферы равен $3\sqrt{10}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $M(a; b; c)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

Согласно условию задачи:

1. Центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, следовательно, его координата $y$ равна нулю. Обозначим центр сферы как $M(a; 0; c)$.

2. Радиус сферы $R = 3\sqrt{10}$. Тогда квадрат радиуса $R^2 = (3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.

С учетом этих данных уравнение сферы принимает вид:

$(x - a)^2 + y^2 + (z - c)^2 = 90$

Известно, что сфера проходит через две точки: начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы, чтобы получить систему уравнений для нахождения $a$ и $c$.

Подставляем координаты точки $O(0; 0; 0)$:

$(0 - a)^2 + 0^2 + (0 - c)^2 = 90$

$a^2 + c^2 = 90$ (1)

Подставляем координаты точки $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$:

$(4 - a)^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-2 - c)^2 = 90$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(16 - 8a + a^2) + (4 \cdot 10) + (4 + 4c + c^2) = 90$

$16 - 8a + a^2 + 40 + 4 + 4c + c^2 = 90$

$(a^2 + c^2) - 8a + 4c + 60 = 90$ (2)

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 + c^2 = 90 \\ a^2 + c^2 - 8a + 4c + 60 = 90 \end{cases}$

Подставим выражение $a^2 + c^2$ из первого уравнения во второе:

$90 - 8a + 4c + 60 = 90$

$-8a + 4c + 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4:

$-2a + c + 15 = 0$

Отсюда выразим $c$ через $a$:

$c = 2a - 15$

Теперь подставим это выражение для $c$ в первое уравнение системы:

$a^2 + (2a - 15)^2 = 90$

$a^2 + 4a^2 - 60a + 225 = 90$

$5a^2 - 60a + 135 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 - 12a + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Корнями являются $a_1 = 3$ и $a_2 = 9$.

Найдем соответствующие значения $c$ для каждого корня:

1. Если $a_1 = 3$, то $c_1 = 2(3) - 15 = 6 - 15 = -9$.
Координаты центра первой сферы: $M_1(3; 0; -9)$.

2. Если $a_2 = 9$, то $c_2 = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$.
Координаты центра второй сферы: $M_2(9; 0; 3)$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы. Запишем их уравнения.

Для центра $M_1(3; 0; -9)$ уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + y^2 + (z - (-9))^2 = 90 \implies (x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$

Для центра $M_2(9; 0; 3)$ уравнение сферы:

$(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$ или $(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$.

12.18. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 4 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A, B, C_1$ и середину ребра $B_1C_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину куба D в начало координат. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁. Так как ребро куба равно 4 см, то координаты вершин куба будут следующими:

• $A = (4, 0, 0)$
• $B = (4, 4, 0)$
• $C = (0, 4, 0)$
• $D = (0, 0, 0)$
• $A_1 = (4, 0, 4)$
• $B_1 = (4, 4, 4)$
• $C_1 = (0, 4, 4)$
• $D_1 = (0, 0, 4)$

Сфера проходит через четыре точки: $A$, $B$, $C_1$ и середину ребра $B_1C_1$. Обозначим середину ребра $B_1C_1$ как точку $M$. Найдем ее координаты, используя координаты точек $B_1(4, 4, 4)$ и $C_1(0, 4, 4)$:

$M = (\frac{4+0}{2}; \frac{4+4}{2}; \frac{4+4}{2}) = (2, 4, 4)$

Таким образом, сфера проходит через точки $A(4, 0, 0)$, $B(4, 4, 0)$, $C_1(0, 4, 4)$ и $M(2, 4, 4)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$, а ее радиус равен $R$. Все точки, лежащие на сфере, равноудалены от ее центра. Это означает, что $OA = OB = OC_1 = OM = R$, или, что то же самое, $OA^2 = OB^2 = OC_1^2 = OM^2 = R^2$.

Используем это свойство для нахождения координат центра сферы.

1. Из равенства $OA^2 = OB^2$:

$(4 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = (4 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2$

$y_0^2 = (4 - y_0)^2$

$y_0^2 = 16 - 8y_0 + y_0^2$

$8y_0 = 16$

$y_0 = 2$

2. Из равенства $OC_1^2 = OM^2$:

$(0 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2 = (2 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2$

$x_0^2 = (2 - x_0)^2$

$x_0^2 = 4 - 4x_0 + x_0^2$

$4x_0 = 4$

$x_0 = 1$

3. Теперь, зная $x_0 = 1$ и $y_0 = 2$, найдем $z_0$ из равенства $OA^2 = OC_1^2$:

$(4 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = (0 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2$

$(4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + z_0^2 = (0 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (4 - z_0)^2$

$3^2 + (-2)^2 + z_0^2 = (-1)^2 + 2^2 + (4 - z_0)^2$

$9 + 4 + z_0^2 = 1 + 4 + 16 - 8z_0 + z_0^2$

$13 = 21 - 8z_0$

$8z_0 = 8$

$z_0 = 1$

Итак, центр сферы находится в точке $O(1, 2, 1)$.

Теперь найдем радиус сферы $R$, вычислив расстояние от центра $O$ до любой из четырех точек, например, до точки $A(4, 0, 0)$.

$R^2 = OA^2 = (4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 4 + 1 = 14$

$R = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.