Номер 12.16, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.16. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точки $A (1; -1; 2)$ и $B (\sqrt{17}; 1; 6)$, центр сферы принадлежит координатной плоскости $yz$, а радиус сферы равен $\sqrt{46}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы принадлежит координатной плоскости $yz$. Это означает, что координата $x_0$ центра равна нулю. Таким образом, центр сферы имеет координаты $C(0; y_0; z_0)$.

Также по условию радиус сферы равен $R = \sqrt{46}$, следовательно, $R^2 = 46$.

Подставив известные данные в общее уравнение, получаем уравнение искомой сферы в виде:

$x^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = 46$

Известно, что сфера проходит через точки $A(1; -1; 2)$ и $B(\sqrt{17}; 1; 6)$. Это значит, что координаты этих точек должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим поочередно координаты точек $A$ и $B$ в полученное уравнение, чтобы составить систему для нахождения $y_0$ и $z_0$.

Для точки $A(1; -1; 2)$:

$1^2 + (-1 - y_0)^2 + (2 - z_0)^2 = 46$

$1 + (y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 46$

$(y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 45$

Для точки $B(\sqrt{17}; 1; 6)$:

$(\sqrt{17})^2 + (1 - y_0)^2 + (6 - z_0)^2 = 46$

$17 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 46$

$(y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 29$

Теперь решим систему двух уравнений с двумя неизвестными $y_0$ и $z_0$:

$\begin{cases} (y_0 + 1)^2 + (z_0 - 2)^2 = 45 \\ (y_0 - 1)^2 + (z_0 - 6)^2 = 29 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} y_0^2 + 2y_0 + 1 + z_0^2 - 4z_0 + 4 = 45 \\ y_0^2 - 2y_0 + 1 + z_0^2 - 12z_0 + 36 = 29 \end{cases}$

Приведем подобные члены:

$\begin{cases} y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 4z_0 = 40 \\ y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0 = -8 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от квадратичных членов:

$(y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 4z_0) - (y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0) = 40 - (-8)$

$4y_0 + 8z_0 = 48$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y_0 + 2z_0 = 12$

Выразим $y_0$ через $z_0$:

$y_0 = 12 - 2z_0$

Подставим это выражение для $y_0$ в одно из упрощенных уравнений системы, например, во второе: $y_0^2 + z_0^2 - 2y_0 - 12z_0 = -8$.

$(12 - 2z_0)^2 + z_0^2 - 2(12 - 2z_0) - 12z_0 = -8$

$(144 - 48z_0 + 4z_0^2) + z_0^2 - 24 + 4z_0 - 12z_0 = -8$

Приведем подобные члены:

$5z_0^2 - 56z_0 + 120 = -8$

$5z_0^2 - 56z_0 + 128 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $z_0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 = 24^2$

Найдем корни уравнения:

$z_{0_1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2$

$z_{0_2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

Мы получили два возможных значения для координаты $z_0$ центра сферы. Теперь найдем соответствующие значения для $y_0$ используя формулу $y_0 = 12 - 2z_0$.

1. Если $z_0 = 3.2$, то $y_0 = 12 - 2(3.2) = 12 - 6.4 = 5.6$. Центр сферы $C_1(0; 5.6; 3.2)$.

2. Если $z_0 = 8$, то $y_0 = 12 - 2(8) = 12 - 16 = -4$. Центр сферы $C_2(0; -4; 8)$.

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи. Запишем уравнение для каждой из них.

1. Уравнение сферы с центром $C_1(0; 5.6; 3.2)$ и радиусом $R^2 = 46$:

$x^2 + (y - 5.6)^2 + (z - 3.2)^2 = 46$

2. Уравнение сферы с центром $C_2(0; -4; 8)$ и радиусом $R^2 = 46$:

$x^2 + (y - (-4))^2 + (z - 8)^2 = 46$

$x^2 + (y + 4)^2 + (z - 8)^2 = 46$

Ответ: $x^2 + (y - 5.6)^2 + (z - 3.2)^2 = 46$ или $x^2 + (y + 4)^2 + (z - 8)^2 = 46$.