Номер 12.22, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.22. Центром сферы является точка пересечения диагоналей куба. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки сферы не зависит от выбора этой точки.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом координат. Поместим центр куба, который является точкой пересечения его диагоналей и, по условию, центром сферы, в начало прямоугольной системы координат $O(0, 0, 0)$.

Пусть длина ребра куба равна $s$. Тогда его вершины $V_i$ ($i=1, 2, ..., 8$) будут иметь координаты вида $(\pm \frac{s}{2}, \pm \frac{s}{2}, \pm \frac{s}{2})$. Обозначим радиус-векторы вершин как $\vec{v}_i$.

Пусть $P$ — произвольная точка на сфере. Обозначим ее радиус-вектор как $\vec{p}$. Поскольку центр сферы находится в начале координат, а ее радиус равен $R$, для любой точки $P$ на сфере выполняется условие $|\vec{p}|^2 = R^2$, где $R$ — константа.

Нам необходимо доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин куба до точки $P$ не зависит от выбора $P$ на сфере. Запишем эту сумму, обозначив ее $S$:

$S = \sum_{i=1}^{8} |PV_i|^2$

Квадрат расстояния $|PV_i|$ — это квадрат длины вектора $\vec{PV_i} = \vec{v}_i - \vec{p}$. Используя свойства скалярного произведения, получаем:

$|PV_i|^2 = |\vec{v}_i - \vec{p}|^2 = (\vec{v}_i - \vec{p}) \cdot (\vec{v}_i - \vec{p}) = |\vec{v}_i|^2 - 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:

$S = \sum_{i=1}^{8} (|\vec{v}_i|^2 - 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2)$

Разложим сумму на три части:

$S = \sum_{i=1}^{8} |\vec{v}_i|^2 - \sum_{i=1}^{8} 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + \sum_{i=1}^{8} |\vec{p}|^2$

Проанализируем каждое слагаемое:

1. $\sum_{i=1}^{8} |\vec{v}_i|^2$. Величина $|\vec{v}_i|^2$ — это квадрат расстояния от центра куба до $i$-й вершины. Это расстояние одинаково для всех вершин. Оно равно $(\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = \frac{3s^2}{4}$. Так как у куба 8 вершин, то сумма равна $8 \cdot \frac{3s^2}{4} = 6s^2$. Это значение является константой, так как зависит только от размера куба.
2. $\sum_{i=1}^{8} 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p})$. Вынесем общий множитель и воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения: $2\left(\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i\right) \cdot \vec{p}$. Сумма радиус-векторов вершин куба $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i$ равна нулевому вектору, так как для каждой вершины с вектором $\vec{v}_i$ существует симметричная ей относительно начала координат вершина с вектором $-\vec{v}_i$. Таким образом, $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i = \vec{0}$. Следовательно, все слагаемое равно $2(\vec{0} \cdot \vec{p}) = 0$.
3. $\sum_{i=1}^{8} |\vec{p}|^2$. Мы уже установили, что для любой точки $P$ на сфере $|\vec{p}|^2 = R^2$. Суммируя это значение 8 раз (по числу вершин), получаем $8R^2$. Это значение также является константой, так как зависит только от радиуса сферы.

Собрав все части вместе, получаем итоговое выражение для суммы $S$:

$S = 6s^2 - 0 + 8R^2 = 6s^2 + 8R^2$

Как видим, итоговая сумма зависит только от постоянных величин — размера ребра куба $s$ и радиуса сферы $R$, и не зависит от положения точки $P$ на сфере. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки на сфере является постоянной величиной, равной $6s^2 + 8R^2$, где $s$ — длина ребра куба, а $R$ — радиус сферы, и не зависит от выбора точки на сфере.