Номер 12.18, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.18. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 4 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A, B, C_1$ и середину ребра $B_1C_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину куба D в начало координат. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁. Так как ребро куба равно 4 см, то координаты вершин куба будут следующими:

• $A = (4, 0, 0)$
• $B = (4, 4, 0)$
• $C = (0, 4, 0)$
• $D = (0, 0, 0)$
• $A_1 = (4, 0, 4)$
• $B_1 = (4, 4, 4)$
• $C_1 = (0, 4, 4)$
• $D_1 = (0, 0, 4)$

Сфера проходит через четыре точки: $A$, $B$, $C_1$ и середину ребра $B_1C_1$. Обозначим середину ребра $B_1C_1$ как точку $M$. Найдем ее координаты, используя координаты точек $B_1(4, 4, 4)$ и $C_1(0, 4, 4)$:

$M = (\frac{4+0}{2}; \frac{4+4}{2}; \frac{4+4}{2}) = (2, 4, 4)$

Таким образом, сфера проходит через точки $A(4, 0, 0)$, $B(4, 4, 0)$, $C_1(0, 4, 4)$ и $M(2, 4, 4)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$, а ее радиус равен $R$. Все точки, лежащие на сфере, равноудалены от ее центра. Это означает, что $OA = OB = OC_1 = OM = R$, или, что то же самое, $OA^2 = OB^2 = OC_1^2 = OM^2 = R^2$.

Используем это свойство для нахождения координат центра сферы.

1. Из равенства $OA^2 = OB^2$:

$(4 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = (4 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2$

$y_0^2 = (4 - y_0)^2$

$y_0^2 = 16 - 8y_0 + y_0^2$

$8y_0 = 16$

$y_0 = 2$

2. Из равенства $OC_1^2 = OM^2$:

$(0 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2 = (2 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2$

$x_0^2 = (2 - x_0)^2$

$x_0^2 = 4 - 4x_0 + x_0^2$

$4x_0 = 4$

$x_0 = 1$

3. Теперь, зная $x_0 = 1$ и $y_0 = 2$, найдем $z_0$ из равенства $OA^2 = OC_1^2$:

$(4 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = (0 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2$

$(4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + z_0^2 = (0 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (4 - z_0)^2$

$3^2 + (-2)^2 + z_0^2 = (-1)^2 + 2^2 + (4 - z_0)^2$

$9 + 4 + z_0^2 = 1 + 4 + 16 - 8z_0 + z_0^2$

$13 = 21 - 8z_0$

$8z_0 = 8$

$z_0 = 1$

Итак, центр сферы находится в точке $O(1, 2, 1)$.

Теперь найдем радиус сферы $R$, вычислив расстояние от центра $O$ до любой из четырех точек, например, до точки $A(4, 0, 0)$.

$R^2 = OA^2 = (4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 4 + 1 = 14$

$R = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.