Номер 12.25, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.25. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания окружностей до их общей внешней касательной.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R$ и $r$ — их радиусы соответственно. По условию, $R = 9$ см, а $r = 3$ см. Пусть $T$ — точка внешнего касания окружностей. Точки $O_1$, $T$, $O_2$ лежат на одной прямой (линии центров), и расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 9 + 3 = 12$ см. Точка $T$ делит отрезок $O_1O_2$ на части, равные радиусам: $O_1T = R = 9$ см и $TO_2 = r = 3$ см.

Пусть общая внешняя касательная касается окружностей в точках $A$ и $B$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу. Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R = 9$ см и $O_2B = r = 3$ см.

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $TH$, опущенного из точки $T$ на прямую $AB$. Так как $TH \perp AB$, то отрезок $TH$ параллелен основаниям трапеции $O_1A$ и $O_2B$.

Длину отрезка $TH$, который параллелен основаниям трапеции и проходит через точку $T$ на боковой стороне $O_1O_2$, можно найти по формуле. Если точка $T$ делит боковую сторону на отрезки $m=O_1T$ и $n=TO_2$, а основания трапеции равны $a=O_1A$ и $b=O_2B$, то длина отрезка $TH$ вычисляется как: $TH = \frac{a \cdot n + b \cdot m}{m+n}$

В данном случае $a=R=9$, $b=r=3$, $m=O_1T=R=9$, $n=TO_2=r=3$. Подставляем эти значения в формулу: $TH = \frac{O_1A \cdot TO_2 + O_2B \cdot O_1T}{O_1T + TO_2} = \frac{R \cdot r + r \cdot R}{R+r} = \frac{2Rr}{R+r}$

Выполним вычисления: $TH = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3}{9 + 3} = \frac{54}{12} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.