Номер 12.21, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.21. Даны тетраэдр и некоторое положительное число. Найдите геометрическое место точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точки до вершин данного тетраэдра равна заданному числу.

Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4$ — вершины данного тетраэдра, и пусть их радиус-векторы в некоторой системе координат равны $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}$ соответственно. Пусть $M$ — произвольная точка пространства с радиус-вектором $\vec{m}$. Заданное положительное число обозначим как $C$.

По условию задачи, сумма квадратов расстояний от точки $M$ до вершин тетраэдра равна $C$. Математически это можно записать так:

$|MA_1|^2 + |MA_2|^2 + |MA_3|^2 + |MA_4|^2 = C$

Используя радиус-векторы, это уравнение можно переписать в виде:

$|\vec{a_1} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_2} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_3} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_4} - \vec{m}|^2 = C$

$\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = C$

Введем точку $O$ — центроид (центр масс) системы точек $A_1, A_2, A_3, A_4$. Радиус-вектор центроида $\vec{o}$ определяется как среднее арифметическое радиус-векторов вершин:

$\vec{o} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}}{4}$

Теперь преобразуем выражение $|\vec{a_i} - \vec{m}|^2$, добавив и вычтя вектор $\vec{o}$:

$\vec{a_i} - \vec{m} = (\vec{a_i} - \vec{o}) + (\vec{o} - \vec{m})$

Возведем в квадрат (скалярный квадрат вектора):

$|\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = |(\vec{a_i} - \vec{o}) + (\vec{o} - \vec{m})|^2 = |\vec{a_i} - \vec{o}|^2 + |\vec{o} - \vec{m}|^2 + 2(\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m})$

Просуммируем это выражение по всем $i$ от 1 до 4:

$\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = \sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{o}|^2 + \sum_{i=1}^{4} |\vec{o} - \vec{m}|^2 + 2 \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m})$

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части:

1. $\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{o}|^2$ — это сумма квадратов расстояний от вершин тетраэдра до его центроида. Для данного тетраэдра это постоянная величина. Обозначим ее $S$.
2. $\sum_{i=1}^{4} |\vec{o} - \vec{m}|^2 = 4|\vec{o} - \vec{m}|^2 = 4|OM|^2$, так как $|\vec{o} - \vec{m}|^2$ не зависит от индекса $i$.
3. $2 \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m}) = 2(\vec{o} - \vec{m}) \cdot \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o})$.
   Найдем сумму векторов $\sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o})$:
   $\sum_{i=1}^{4} \vec{a_i} - \sum_{i=1}^{4} \vec{o} = (\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}) - 4\vec{o}$.
   По определению центроида $4\vec{o} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}$.
   Следовательно, $\sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) = \vec{0}$.
   Таким образом, третье слагаемое равно нулю.

Подставляя эти результаты в исходное уравнение, получаем:

$S + 4|OM|^2 = C$

Отсюда выразим $|OM|^2$:

$|OM|^2 = \frac{C - S}{4}$

Это уравнение описывает искомое геометрическое место точек $M$. Точка $O$ (центроид тетраэдра) и величина $S$ (сумма квадратов расстояний от вершин до центроида) являются фиксированными для данного тетраэдра. Величина $C$ — заданное положительное число.

Проанализируем полученное выражение:

• Если $C > S$, то $\frac{C - S}{4} > 0$. Обозначим $R^2 = \frac{C - S}{4}$. Тогда уравнение $|OM|^2 = R^2$ или $|OM|=R$ задает сферу с центром в центроиде тетраэдра $O$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{C - S}{4}}$.
• Если $C = S$, то $|OM|^2 = 0$. Это означает, что точка $M$ совпадает с точкой $O$. Геометрическое место точек — одна точка, являющаяся центроидом тетраэдра.
• Если $C < S$, то $|OM|^2 < 0$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат расстояния не может быть отрицательным. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Искомое геометрическое место точек зависит от соотношения между заданным числом $C$ и величиной $S = \sum_{i=1}^{4} |OA_i|^2$, где $O$ — центроид тетраэдра, а $A_i$ — его вершины.

1. Если $C > S$, то это сфера с центром в центроиде тетраэдра и радиусом $R = \sqrt{\frac{C - S}{4}}$.
2. Если $C = S$, то это одна точка — центроид тетраэдра.
3. Если $C < S$, то это пустое множество.