Номер 12.17, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.17. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$ и начало координат, центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, а радиус сферы равен $3\sqrt{10}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $M(a; b; c)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

Согласно условию задачи:

1. Центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, следовательно, его координата $y$ равна нулю. Обозначим центр сферы как $M(a; 0; c)$.

2. Радиус сферы $R = 3\sqrt{10}$. Тогда квадрат радиуса $R^2 = (3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.

С учетом этих данных уравнение сферы принимает вид:

$(x - a)^2 + y^2 + (z - c)^2 = 90$

Известно, что сфера проходит через две точки: начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы, чтобы получить систему уравнений для нахождения $a$ и $c$.

Подставляем координаты точки $O(0; 0; 0)$:

$(0 - a)^2 + 0^2 + (0 - c)^2 = 90$

$a^2 + c^2 = 90$ (1)

Подставляем координаты точки $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$:

$(4 - a)^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-2 - c)^2 = 90$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(16 - 8a + a^2) + (4 \cdot 10) + (4 + 4c + c^2) = 90$

$16 - 8a + a^2 + 40 + 4 + 4c + c^2 = 90$

$(a^2 + c^2) - 8a + 4c + 60 = 90$ (2)

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 + c^2 = 90 \\ a^2 + c^2 - 8a + 4c + 60 = 90 \end{cases}$

Подставим выражение $a^2 + c^2$ из первого уравнения во второе:

$90 - 8a + 4c + 60 = 90$

$-8a + 4c + 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4:

$-2a + c + 15 = 0$

Отсюда выразим $c$ через $a$:

$c = 2a - 15$

Теперь подставим это выражение для $c$ в первое уравнение системы:

$a^2 + (2a - 15)^2 = 90$

$a^2 + 4a^2 - 60a + 225 = 90$

$5a^2 - 60a + 135 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 - 12a + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Корнями являются $a_1 = 3$ и $a_2 = 9$.

Найдем соответствующие значения $c$ для каждого корня:

1. Если $a_1 = 3$, то $c_1 = 2(3) - 15 = 6 - 15 = -9$.
Координаты центра первой сферы: $M_1(3; 0; -9)$.

2. Если $a_2 = 9$, то $c_2 = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$.
Координаты центра второй сферы: $M_2(9; 0; 3)$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы. Запишем их уравнения.

Для центра $M_1(3; 0; -9)$ уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + y^2 + (z - (-9))^2 = 90 \implies (x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$

Для центра $M_2(9; 0; 3)$ уравнение сферы:

$(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$ или $(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$.