Номер 12.10, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.10. Найдите координаты точки пересечения сферы $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$ с осями координат.

Дано уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$.

Чтобы найти точки пересечения сферы с осями координат, нужно поочередно рассмотреть пересечение с каждой осью. Точки, лежащие на координатных осях, имеют две из трех координат равными нулю.

Пересечение с осью Ox

Точки на оси Ox (оси абсцисс) имеют координаты вида $(x, 0, 0)$. Чтобы найти их, подставим $y = 0$ и $z = 0$ в уравнение сферы:

$(x - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$(x - 2)^2 + 9 + 36 = 49$

$(x - 2)^2 + 45 = 49$

$(x - 2)^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$:

$x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$

$x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$

Таким образом, сфера пересекает ось Ox в двух точках с координатами $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy

Точки на оси Oy (оси ординат) имеют координаты вида $(0, y, 0)$. Подставим $x = 0$ и $z = 0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$4 + (y + 3)^2 + 36 = 49$

$(y + 3)^2 + 40 = 49$

$(y + 3)^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $y$:

$y + 3 = 3 \implies y_1 = 0$

$y + 3 = -3 \implies y_2 = -6$

Таким образом, сфера пересекает ось Oy в двух точках с координатами $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Пересечение с осью Oz

Точки на оси Oz (оси аппликат) имеют координаты вида $(0, 0, z)$. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$

$4 + 9 + (z - 6)^2 = 49$

$13 + (z - 6)^2 = 49$

$(z - 6)^2 = 36$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $z$:

$z - 6 = 6 \implies z_1 = 12$

$z - 6 = -6 \implies z_2 = 0$

Таким образом, сфера пересекает ось Oz в двух точках с координатами $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.