Номер 12.4, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.4. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2 = 9;$

2) $x^2 + (y + 5)^2 + (z - 6)^2 = 25;$

3) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11;$

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 5.$

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Чтобы найти координаты центра и радиус, необходимо привести данное уравнение к этому виду.

1) Дано уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$.
Сравнивая это уравнение с общим видом, находим координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -4$ (поскольку $z+4 = z-(-4)$).
Таким образом, центр сферы — точка $C(1; 2; -4)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 9$, отсюда радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: центр $(1; 2; -4)$, радиус $R = 3$.

2) Дано уравнение: $x^2 + (y + 5)^2 + (z - 6)^2 = 25$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 + (z - 6)^2 = 25$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = -5$, $z_0 = 6$.
Таким образом, центр сферы — точка $C(0; -5; 6)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$, отсюда радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: центр $(0; -5; 6)$, радиус $R = 5$.

3) Дано уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 0)^2 = 11$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = -3$, $y_0 = 4$, $z_0 = 0$.
Таким образом, центр сферы — точка $C(-3; 4; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 11$, отсюда радиус $R = \sqrt{11}$.
Ответ: центр $(-3; 4; 0)$, радиус $R = \sqrt{11}$.

4) Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 5$.
Представим уравнение в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 5$.
Сравнивая с общим видом, находим координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.
Таким образом, центр сферы находится в начале координат, в точке $C(0; 0; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 5$, отсюда радиус $R = \sqrt{5}$.
Ответ: центр $(0; 0; 0)$, радиус $R = \sqrt{5}$.