Номер 11.31, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.31. В правильной пирамиде $DABC$ сторона основания $ABC$ равна $a$, а боковое ребро равно $2a$. Точки $D$, $B$ и $C$ принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке $A$. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $DABC$ — заданная правильная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а вершина $D$ проецируется в центр этого треугольника. По условию, сторона основания $AB = BC = CA = a$, а боковое ребро $DA = DB = DC = 2a$.

Точки $D, B, C$ принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке $A$. Для прямого кругового конуса (который обычно подразумевается в таких задачах) это означает, что прямые $AD, AB, AC$, соединяющие вершину конуса с точками на его поверхности, являются образующими. Все образующие конуса наклонены под одним и тем же углом к его оси. Обозначим этот угол (половину угла при вершине в осевом сечении конуса) через $\alpha$. Требуется найти угол $2\alpha$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Плоскость основания $ABC$ будет совпадать с плоскостью $xy$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$, равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Тогда координаты вершин основания:
$A = (R, 0, 0) = (\frac{a}{\sqrt{3}}, 0, 0)$
$B = (R\cos(120^\circ), R\sin(120^\circ), 0) = (-\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{2}, 0)$
$C = (R\cos(240^\circ), R\sin(240^\circ), 0) = (-\frac{a}{2\sqrt{3}}, -\frac{a}{2}, 0)$

Вершина пирамиды $D$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты $D = (0, 0, h)$. Найдем высоту $h$ из условия, что длина бокового ребра $DA$ равна $2a$:
$DA^2 = (x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2 + (z_A - z_D)^2$
$(2a)^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2$
$4a^2 = \frac{a^2}{3} + h^2$
$h^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{11a^2}{3} \implies h = a\sqrt{\frac{11}{3}}$.
Таким образом, координаты вершины $D = (0, 0, a\sqrt{\frac{11}{3}})$.

Вершина конуса находится в точке $A$. Найдем векторы, соответствующие образующим $AB, AC, AD$, исходящие из вершины конуса:
$\vec{AB} = B - A = (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$
$\vec{AC} = C - A = (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}}, -\frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
$\vec{AD} = D - A = (0 - \frac{a}{\sqrt{3}}, 0 - 0, a\sqrt{\frac{11}{3}} - 0) = (-\frac{a}{\sqrt{3}}, 0, a\sqrt{\frac{11}{3}})$

Пусть $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ — единичный направляющий вектор оси конуса ($|\vec{v}| = 1$). Угол $\alpha$ между осью и каждой из образующих должен быть одинаков. Косинус этого угла выражается через скалярное произведение:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{v}|}$
Учитывая, что $|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=a$, $|\vec{AD}|=2a$ и $|\vec{v}|=1$:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{2a}$

Из равенства $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{a}$ следует $\vec{AB} \cdot \vec{v} = \vec{AC} \cdot \vec{v}$:
$-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x + \frac{a}{2}v_y = -\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x - \frac{a}{2}v_y \implies \frac{a}{2}v_y = -\frac{a}{2}v_y \implies v_y = 0$.
Это означает, что ось конуса лежит в плоскости симметрии $xz$. Итак, $\vec{v} = (v_x, 0, v_z)$, причем $v_x^2 + v_z^2 = 1$.

Теперь используем равенство $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{2a}$:
$\frac{-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x}{a} = \frac{-\frac{a}{\sqrt{3}}v_x + a\sqrt{\frac{11}{3}}v_z}{2a}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}v_x = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}v_x + \sqrt{\frac{11}{3}}v_z}{2}$
$-\sqrt{3}v_x = -\frac{1}{\sqrt{3}}v_x + \sqrt{\frac{11}{3}}v_z$
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$-3v_x = -v_x + \sqrt{11}v_z \implies -2v_x = \sqrt{11}v_z$.

Мы получили систему уравнений для координат вектора $\vec{v}$:
1) $v_z = -\frac{2}{\sqrt{11}}v_x$
2) $v_x^2 + v_z^2 = 1$
Подставим выражение для $v_z$ из первого уравнения во второе:
$v_x^2 + (-\frac{2}{\sqrt{11}}v_x)^2 = 1 \implies v_x^2 + \frac{4}{11}v_x^2 = 1 \implies \frac{15}{11}v_x^2 = 1 \implies v_x^2 = \frac{11}{15}$.

Теперь найдем $\cos\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x}{a} = -\frac{\sqrt{3}}{2}v_x$.
Возведем в квадрат:
$\cos^2\alpha = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 v_x^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{15} = \frac{11}{20}$.

Искомый угол между образующими в осевом сечении равен $2\alpha$. Найдем его косинус, используя формулу косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \frac{11}{20} - 1 = \frac{11}{10} - 1 = \frac{1}{10}$.
Отсюда, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{10})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{10})$