Страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.28. Высота правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В пирамиду вписан конус. Через вершину конуса проведена плоскость. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO$ — высота пирамиды, и по условию $SO = h$.

Боковое ребро, например $SA$, образует с плоскостью основания $ABC$ угол $\alpha$. Проекцией ребра $SA$ на эту плоскость является отрезок $AO$. Следовательно, $\angle SAO = \alpha$. $AO$ является радиусом $R$ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$ находим $R$:$R = AO = \frac{SO}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$.

В пирамиду вписан конус. Его вершина совпадает с вершиной пирамиды $S$, высота равна высоте пирамиды $h$, а основанием является круг, вписанный в треугольник $ABC$. Радиус $r$ этого круга (и основания конуса) связан с радиусом описанной окружности $R$ для правильного треугольника соотношением $R = 2r$. Следовательно, радиус основания конуса:$r = \frac{R}{2} = \frac{h \cot \alpha}{2}$.

Найдем образующую $l$ конуса. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом $r$ и образующей $l$, по теореме Пифагора получаем:$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{h \cot \alpha}{2}\right)^2} = \frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $l$. Площадь такого сечения $A$ вычисляется по формуле:$A = \frac{1}{2}l^2 \sin\gamma$,где $\gamma$ — угол между образующими, формирующими сечение.

Чтобы найти сечение с наибольшей площадью, необходимо найти максимальное значение $A$. Так как $l$ является постоянной величиной для данного конуса, площадь $A$ максимальна, когда максимальна величина $\sin\gamma$.

Угол $\gamma$ может изменяться в зависимости от выбора секущей плоскости. Максимальное значение угла $\gamma$ достигается в осевом сечении конуса. Обозначим этот максимальный угол $\beta$. Из треугольника осевого сечения имеем $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{r}{l}$. Таким образом, $\gamma \in [0, \beta]$.

Для нахождения наибольшей площади сечения рассмотрим два возможных случая, зависящих от величины угла $\beta$.

Первый случай: $\beta \ge 90^\circ$. В этом случае угол $\gamma$ может принимать значение $90^\circ$, при котором $\sin\gamma$ достигает своего максимума, равного 1. Условие $\beta \ge 90^\circ$ равносильно $\frac{\beta}{2} \ge 45^\circ$, а значит $\sin\frac{\beta}{2} \ge \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим сюда отношение $\frac{r}{l}$:$\frac{r}{l} = \frac{\frac{h \cot \alpha}{2}}{\frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}} = \frac{\cot \alpha}{\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Возведя обе положительные части в квадрат, получим $\frac{\cot^2 \alpha}{4 + \cot^2 \alpha} \ge \frac{1}{2}$, что приводит к $\cot^2 \alpha \ge 4$. Так как $\alpha$ — острый угол ($0 < \alpha < \pi/2$), то $\cot \alpha > 0$, следовательно, $\cot \alpha \ge 2$. При выполнении этого условия наибольшая площадь сечения достигается при $\gamma=90^\circ$ и равна $A_{max} = \frac{1}{2}l^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{2}\sqrt{4 + \cot^2 \alpha}\right)^2 = \frac{h^2}{8}(4 + \cot^2 \alpha)$.

Второй случай: $\beta < 90^\circ$. Это соответствует условию $\cot \alpha < 2$. В этом диапазоне функция $\sin\gamma$ возрастает на отрезке $[0, \beta]$, и ее максимум достигается при $\gamma = \beta$. Сечение с наибольшей площадью в этом случае — осевое сечение конуса. Его площадь равна $A_{max} = rh = \left(\frac{h \cot \alpha}{2}\right)h = \frac{h^2 \cot \alpha}{2}$.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: если $\cot \alpha \ge 2$, то площадь равна $\frac{h^2}{8}(4 + \cot^2 \alpha)$; если $\cot \alpha < 2$, то площадь равна $\frac{h^2 \cot \alpha}{2}$.

11.29. В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 10 см и 15 см, вписана пирамида MABCD. Основанием пирамиды является трапеция ABCD, основания которой BC и AD соответственно равны 12 см и 16 см. Найдите расстояние между прямыми AD и MC.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AD$ и $MC$ воспользуемся методом параллельных прямой и плоскости.

Поскольку основанием пирамиды является трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$). Следовательно, прямая $AD$ параллельна плоскости $(MBC)$, содержащей прямую $BC$. Расстояние между прямой $AD$ и прямой $MC$ будет равно расстоянию от любой точки прямой $AD$ до плоскости $(MBC)$. Найдем это расстояние как высоту $h$ тетраэдра $MBCD$, опущенную из вершины $D$ на грань $MBC$.

Объем тетраэдра $MBCD$ можно вычислить двумя способами:1. $V = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot H$, где $S_{BCD}$ — площадь треугольника $BCD$, а $H$ — высота пирамиды, равная высоте конуса ($H=15$ см).2. $V = \frac{1}{3} S_{MBC} \cdot h$, где $S_{MBC}$ — площадь грани $MBC$, а $h$ — искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $(MBC)$.

Приравнивая два выражения для объема, получаем: $S_{BCD} \cdot H = S_{MBC} \cdot h$. Отсюда искомое расстояние $h = \frac{S_{BCD} \cdot H}{S_{MBC}}$.

Найдем площади треугольников $S_{BCD}$ и $S_{MBC}$.

1. Вычисление площади основания $S_{BCD}$.Трапеция $ABCD$ вписана в окружность (основание конуса), следовательно, она является равнобедренной. Радиус окружности $R=10$ см. Пусть центр окружности $O$ — начало координат. Расположим основания трапеции перпендикулярно оси $Oy$.

Расстояние от центра окружности до хорды $AD$ длиной 16 см:Пусть $L$ — середина $AD$. Тогда $AL = AD/2 = 16/2 = 8$ см. В прямоугольном треугольнике $OAL$ гипотенуза $OA=R=10$ см, катет $AL=8$ см. По теореме Пифагора расстояние $OL = \sqrt{OA^2 - AL^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Расстояние от центра окружности до хорды $BC$ длиной 12 см:Пусть $K$ — середина $BC$. Тогда $BK = BC/2 = 12/2 = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $OBK$ гипотенуза $OB=R=10$ см, катет $BK=6$ см. По теореме Пифагора расстояние $OK = \sqrt{OB^2 - BK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Поскольку трапеция вписана в окружность, ее основания $AD$ и $BC$ лежат по разные стороны от центра $O$. Высота трапеции $h_{trap}$ равна сумме расстояний от центра до оснований: $h_{trap} = OL + OK = 6 + 8 = 14$ см.

Площадь треугольника $BCD$ можно найти как половину произведения его основания $BC$ на высоту, опущенную из точки $D$ на прямую $BC$. Эта высота равна высоте трапеции $h_{trap}$.$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{trap} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 = 84$ см².

2. Вычисление площади боковой грани $S_{MBC}$.Треугольник $MBC$ — равнобедренный, так как $MB$ и $MC$ — боковые ребра пирамиды, вершины основания которой лежат на окружности. $M$ — вершина конуса. $MB = MC$. Длина ребер $MB$ и $MC$ равна образующей конуса для точек на его основании, то есть $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ см.

Найдем высоту $MK$ треугольника $MBC$, проведенную к основанию $BC$. $MO=H=15$ см — высота конуса. $OK=8$ см — расстояние от центра основания до хорды $BC$. Треугольник $MOK$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Площадь треугольника $MBC$:$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 17 = 102$ см².

3. Вычисление расстояния $h$.Теперь мы можем найти искомое расстояние:$h = \frac{S_{BCD} \cdot H}{S_{MBC}} = \frac{84 \cdot 15}{102}$. Сократим дробь. $84 = 6 \cdot 14$, $102 = 6 \cdot 17$.$h = \frac{(6 \cdot 14) \cdot 15}{6 \cdot 17} = \frac{14 \cdot 15}{17} = \frac{210}{17}$ см.

Ответ: $\frac{210}{17}$ см.

11.30. В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 13 см и 15 см, вписана пирамида $DABC$. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, в котором $AB = 24$ см, а высота $CK = 10$ см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат Oxyz.

1. Определение координат вершин пирамиды

Пусть центр основания конуса, точка O, совпадает с началом координат (0, 0, 0). Тогда основание конуса лежит в плоскости $z=0$. Высота конуса совпадает с осью Oz. Вершина конуса D, которая также является вершиной пирамиды DABC, имеет координаты $D(0, 0, H)$, где высота конуса $H = 15$ см. Таким образом, $D(0, 0, 15)$.

Основание пирамиды, треугольник ABC, вписано в окружность основания конуса. Уравнение этой окружности в плоскости $z=0$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где радиус основания конуса $R = 13$ см. Следовательно, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 169$.

Сторона треугольника AB является хордой этой окружности. Длина хорды $AB = 24$ см. Найдем расстояние от центра окружности O до этой хорды. Пусть M — середина AB. Треугольник OAM — прямоугольный ($OM \perp AM$), с гипотенузой OA, равной радиусу $R=13$ см, и катетом $AM = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. По теореме Пифагора:

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Для удобства расположим хорду AB параллельно оси Ox так, чтобы ее середина M лежала на оси Oy. Тогда координаты точки M будут $(0, -5, 0)$, а уравнение прямой AB будет $y=-5$. Координаты точек A и B будут $A(-12, -5, 0)$ и $B(12, -5, 0)$.

Вершина C также лежит на окружности $x^2 + y^2 = 169$. Высота CK треугольника ABC, проведенная к стороне AB, равна 10 см. Это означает, что расстояние от точки $C(x_C, y_C, 0)$ до прямой $y=-5$ равно 10. Расстояние вычисляется как $|y_C - (-5)| = 10$, то есть $|y_C + 5| = 10$.

Это дает два возможных значения для $y_C$: $y_C + 5 = 10 \Rightarrow y_C = 5$ или $y_C + 5 = -10 \Rightarrow y_C = -15$.

Подставим эти значения в уравнение окружности, чтобы проверить, возможны ли они:

• Если $y_C = -15$, то $x_C^2 + (-15)^2 = 169 \Rightarrow x_C^2 + 225 = 169 \Rightarrow x_C^2 = -56$. Это невозможно.
• Если $y_C = 5$, то $x_C^2 + 5^2 = 169 \Rightarrow x_C^2 + 25 = 169 \Rightarrow x_C^2 = 144$. Отсюда $x_C = \pm 12$.

Выберем любое из решений, например, $x_C = 12$. Тогда координаты точки C: $C(12, 5, 0)$.

Итак, мы определили координаты всех необходимых точек: $A(-12, -5, 0)$, $B(12, -5, 0)$, $C(12, 5, 0)$ и $D(0, 0, 15)$.

2. Нахождение расстояния между прямыми AB и CD

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Найдем расстояние от прямой AB до плоскости $\Pi$, которая проходит через прямую CD и параллельна прямой AB.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD:

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{v_{AB}} = B - A = (12 - (-12), -5 - (-5), 0 - 0) = (24, 0, 0)$. Можно взять коллинеарный вектор $\vec{a} = (1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{v_{CD}} = D - C = (0 - 12, 0 - 5, 15 - 0) = (-12, -5, 15)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ должен быть перпендикулярен обоим векторам $\vec{a}$ и $\vec{v_{CD}}$. Найдем его через векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{v_{CD}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -12 & -5 & 15 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 15 - 0 \cdot (-5)) - \vec{j}(1 \cdot 15 - 0 \cdot (-12)) + \vec{k}(1 \cdot (-5) - 0 \cdot (-12)) = 0\vec{i} - 15\vec{j} - 5\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{n} = (0, -15, -5)$. Для уравнения плоскости можно использовать коллинеарный вектор $(0, 3, 1)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $0x + 3y + 1z + d = 0$, или $3y + z + d = 0$. Так как плоскость проходит через точку $C(12, 5, 0)$, подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $d$:

$3(5) + 0 + d = 0 \Rightarrow 15 + d = 0 \Rightarrow d = -15$.

Уравнение плоскости $\Pi$: $3y + z - 15 = 0$.

Искомое расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию от любой точки прямой AB, например $A(-12, -5, 0)$, до плоскости $\Pi$.

$\rho(A, \Pi) = \frac{|3y_A + z_A - 15|}{\sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|3(-5) + 0 - 15|}{\sqrt{9+1}} = \frac{|-15-15|}{\sqrt{10}} = \frac{|-30|}{\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{30}{\sqrt{10}} = \frac{30\sqrt{10}}{10} = 3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

11.31. В правильной пирамиде $DABC$ сторона основания $ABC$ равна $a$, а боковое ребро равно $2a$. Точки $D$, $B$ и $C$ принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке $A$. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $DABC$ — заданная правильная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а вершина $D$ проецируется в центр этого треугольника. По условию, сторона основания $AB = BC = CA = a$, а боковое ребро $DA = DB = DC = 2a$.

Точки $D, B, C$ принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке $A$. Для прямого кругового конуса (который обычно подразумевается в таких задачах) это означает, что прямые $AD, AB, AC$, соединяющие вершину конуса с точками на его поверхности, являются образующими. Все образующие конуса наклонены под одним и тем же углом к его оси. Обозначим этот угол (половину угла при вершине в осевом сечении конуса) через $\alpha$. Требуется найти угол $2\alpha$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Плоскость основания $ABC$ будет совпадать с плоскостью $xy$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$, равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Тогда координаты вершин основания:
$A = (R, 0, 0) = (\frac{a}{\sqrt{3}}, 0, 0)$
$B = (R\cos(120^\circ), R\sin(120^\circ), 0) = (-\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{2}, 0)$
$C = (R\cos(240^\circ), R\sin(240^\circ), 0) = (-\frac{a}{2\sqrt{3}}, -\frac{a}{2}, 0)$

Вершина пирамиды $D$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты $D = (0, 0, h)$. Найдем высоту $h$ из условия, что длина бокового ребра $DA$ равна $2a$:
$DA^2 = (x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2 + (z_A - z_D)^2$
$(2a)^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2$
$4a^2 = \frac{a^2}{3} + h^2$
$h^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{11a^2}{3} \implies h = a\sqrt{\frac{11}{3}}$.
Таким образом, координаты вершины $D = (0, 0, a\sqrt{\frac{11}{3}})$.

Вершина конуса находится в точке $A$. Найдем векторы, соответствующие образующим $AB, AC, AD$, исходящие из вершины конуса:
$\vec{AB} = B - A = (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$
$\vec{AC} = C - A = (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}}, -\frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
$\vec{AD} = D - A = (0 - \frac{a}{\sqrt{3}}, 0 - 0, a\sqrt{\frac{11}{3}} - 0) = (-\frac{a}{\sqrt{3}}, 0, a\sqrt{\frac{11}{3}})$

Пусть $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ — единичный направляющий вектор оси конуса ($|\vec{v}| = 1$). Угол $\alpha$ между осью и каждой из образующих должен быть одинаков. Косинус этого угла выражается через скалярное произведение:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{v}|}$
Учитывая, что $|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=a$, $|\vec{AD}|=2a$ и $|\vec{v}|=1$:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{2a}$

Из равенства $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{v}}{a}$ следует $\vec{AB} \cdot \vec{v} = \vec{AC} \cdot \vec{v}$:
$-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x + \frac{a}{2}v_y = -\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x - \frac{a}{2}v_y \implies \frac{a}{2}v_y = -\frac{a}{2}v_y \implies v_y = 0$.
Это означает, что ось конуса лежит в плоскости симметрии $xz$. Итак, $\vec{v} = (v_x, 0, v_z)$, причем $v_x^2 + v_z^2 = 1$.

Теперь используем равенство $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{v}}{2a}$:
$\frac{-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x}{a} = \frac{-\frac{a}{\sqrt{3}}v_x + a\sqrt{\frac{11}{3}}v_z}{2a}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}v_x = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}v_x + \sqrt{\frac{11}{3}}v_z}{2}$
$-\sqrt{3}v_x = -\frac{1}{\sqrt{3}}v_x + \sqrt{\frac{11}{3}}v_z$
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$-3v_x = -v_x + \sqrt{11}v_z \implies -2v_x = \sqrt{11}v_z$.

Мы получили систему уравнений для координат вектора $\vec{v}$:
1) $v_z = -\frac{2}{\sqrt{11}}v_x$
2) $v_x^2 + v_z^2 = 1$
Подставим выражение для $v_z$ из первого уравнения во второе:
$v_x^2 + (-\frac{2}{\sqrt{11}}v_x)^2 = 1 \implies v_x^2 + \frac{4}{11}v_x^2 = 1 \implies \frac{15}{11}v_x^2 = 1 \implies v_x^2 = \frac{11}{15}$.

Теперь найдем $\cos\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{v}}{a} = \frac{-\frac{a\sqrt{3}}{2}v_x}{a} = -\frac{\sqrt{3}}{2}v_x$.
Возведем в квадрат:
$\cos^2\alpha = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 v_x^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{15} = \frac{11}{20}$.

Искомый угол между образующими в осевом сечении равен $2\alpha$. Найдем его косинус, используя формулу косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \frac{11}{20} - 1 = \frac{11}{10} - 1 = \frac{1}{10}$.
Отсюда, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{10})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{10})$

11.32. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $CN$. Известно, что $AC = 6$ см, $AN = 2$ см, $CM = 3$ см. Найдите $MN$.

Пусть стороны треугольника ABC равны $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. По условию задачи, $b = AC = 6$ см, $AN = 2$ см, $CM = 3$ см.

Поскольку точка N лежит на стороне $AB$, то $NB = AB - AN = c - 2$.

Поскольку точка M лежит на стороне $BC$, то $BM = BC - CM = a - 3$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для биссектрисы $CN$, проведенной из угла $C$, имеем:

$\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{2}{c-2} = \frac{6}{a}$

$2a = 6(c-2)$, что можно упростить до $a = 3(c-2)$. (1)

Для биссектрисы $AM$, проведенной из угла $A$, имеем:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$

$\frac{a-3}{3} = \frac{c}{6}$

$6(a-3) = 3c$, что можно упростить до $c = 2(a-3)$. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $c$. Решим ее, подставив выражение для $c$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$a = 3( (2(a-3)) - 2 )$

$a = 3(2a - 6 - 2)$

$a = 3(2a - 8)$

$a = 6a - 24$

$5a = 24$

$a = 4.8$ см.

Теперь найдем $c$, подставив значение $a = 4.8$ в уравнение (2):

$c = 2(4.8 - 3) = 2(1.8) = 3.6$ см.

Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника $ABC$: $BC = a = 4.8$ см, $AB = c = 3.6$ см, и $AC = b = 6$ см.

Проверим, является ли треугольник $ABC$ прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон:

$AB^2 + BC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$

$AC^2 = 6^2 = 36$

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).

Найдем длины отрезков $BN$ и $BM$:

$BN = c - 2 = 3.6 - 2 = 1.6$ см.

$BM = a - 3 = 4.8 - 3 = 1.8$ см.

Рассмотрим треугольник $NBM$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то этот треугольник также является прямоугольным, а отрезок $MN$ — его гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $NBM$:

$MN^2 = BN^2 + BM^2$

$MN^2 = (1.6)^2 + (1.8)^2 = 2.56 + 3.24 = 5.8$

$MN = \sqrt{5.8}$ см.

Ответ: $MN = \sqrt{5.8}$ см.

11.33. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину данной окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Пусть на диаметр $AB$ окружности из точки $C$ на окружности опущен перпендикуляр $CH$. По условию задачи, длина перпендикуляра $CH = 18$ см.

Перпендикуляр делит диаметр на два отрезка $AH$ и $HB$. Пусть длина меньшего отрезка $HB$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина большего отрезка $AH$ равна $(x + 27)$ см.

Рассмотрим треугольник $ACB$. Так как угол $C$ опирается на диаметр $AB$, то он является прямым ($\angle ACB = 90^\circ$). $CH$ является высотой, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ACB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения в это уравнение:

$18^2 = (x + 27) \cdot x$

$324 = x^2 + 27x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 27x - 324 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 729 + 1296 = 2025$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{-27 - 45}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку $x$ обозначает длину отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, $x = 9$ см.

Теперь мы можем найти длины отрезков, на которые перпендикуляр делит диаметр:

$HB = x = 9$ см

$AH = x + 27 = 9 + 27 = 36$ см

Длина всего диаметра $d$ равна сумме длин этих отрезков:

$d = AH + HB = 36 + 9 = 45$ см

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi d$. Подставим значение диаметра:

$L = \pi \cdot 45 = 45\pi$ см

Ответ: $45\pi$ см.