Номер 11.29, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.29. В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 10 см и 15 см, вписана пирамида MABCD. Основанием пирамиды является трапеция ABCD, основания которой BC и AD соответственно равны 12 см и 16 см. Найдите расстояние между прямыми AD и MC.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AD$ и $MC$ воспользуемся методом параллельных прямой и плоскости.

Поскольку основанием пирамиды является трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$). Следовательно, прямая $AD$ параллельна плоскости $(MBC)$, содержащей прямую $BC$. Расстояние между прямой $AD$ и прямой $MC$ будет равно расстоянию от любой точки прямой $AD$ до плоскости $(MBC)$. Найдем это расстояние как высоту $h$ тетраэдра $MBCD$, опущенную из вершины $D$ на грань $MBC$.

Объем тетраэдра $MBCD$ можно вычислить двумя способами:1. $V = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot H$, где $S_{BCD}$ — площадь треугольника $BCD$, а $H$ — высота пирамиды, равная высоте конуса ($H=15$ см).2. $V = \frac{1}{3} S_{MBC} \cdot h$, где $S_{MBC}$ — площадь грани $MBC$, а $h$ — искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $(MBC)$.

Приравнивая два выражения для объема, получаем: $S_{BCD} \cdot H = S_{MBC} \cdot h$. Отсюда искомое расстояние $h = \frac{S_{BCD} \cdot H}{S_{MBC}}$.

Найдем площади треугольников $S_{BCD}$ и $S_{MBC}$.

1. Вычисление площади основания $S_{BCD}$.Трапеция $ABCD$ вписана в окружность (основание конуса), следовательно, она является равнобедренной. Радиус окружности $R=10$ см. Пусть центр окружности $O$ — начало координат. Расположим основания трапеции перпендикулярно оси $Oy$.

Расстояние от центра окружности до хорды $AD$ длиной 16 см:Пусть $L$ — середина $AD$. Тогда $AL = AD/2 = 16/2 = 8$ см. В прямоугольном треугольнике $OAL$ гипотенуза $OA=R=10$ см, катет $AL=8$ см. По теореме Пифагора расстояние $OL = \sqrt{OA^2 - AL^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Расстояние от центра окружности до хорды $BC$ длиной 12 см:Пусть $K$ — середина $BC$. Тогда $BK = BC/2 = 12/2 = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $OBK$ гипотенуза $OB=R=10$ см, катет $BK=6$ см. По теореме Пифагора расстояние $OK = \sqrt{OB^2 - BK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Поскольку трапеция вписана в окружность, ее основания $AD$ и $BC$ лежат по разные стороны от центра $O$. Высота трапеции $h_{trap}$ равна сумме расстояний от центра до оснований: $h_{trap} = OL + OK = 6 + 8 = 14$ см.

Площадь треугольника $BCD$ можно найти как половину произведения его основания $BC$ на высоту, опущенную из точки $D$ на прямую $BC$. Эта высота равна высоте трапеции $h_{trap}$.$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{trap} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 = 84$ см².

2. Вычисление площади боковой грани $S_{MBC}$.Треугольник $MBC$ — равнобедренный, так как $MB$ и $MC$ — боковые ребра пирамиды, вершины основания которой лежат на окружности. $M$ — вершина конуса. $MB = MC$. Длина ребер $MB$ и $MC$ равна образующей конуса для точек на его основании, то есть $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ см.

Найдем высоту $MK$ треугольника $MBC$, проведенную к основанию $BC$. $MO=H=15$ см — высота конуса. $OK=8$ см — расстояние от центра основания до хорды $BC$. Треугольник $MOK$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Площадь треугольника $MBC$:$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 17 = 102$ см².

3. Вычисление расстояния $h$.Теперь мы можем найти искомое расстояние:$h = \frac{S_{BCD} \cdot H}{S_{MBC}} = \frac{84 \cdot 15}{102}$. Сократим дробь. $84 = 6 \cdot 14$, $102 = 6 \cdot 17$.$h = \frac{(6 \cdot 14) \cdot 15}{6 \cdot 17} = \frac{14 \cdot 15}{17} = \frac{210}{17}$ см.

Ответ: $\frac{210}{17}$ см.