Номер 11.24, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.24. Около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды описан усечённый конус. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если стороны оснований усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а её высота – $2\sqrt{7}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как усечённый конус описан около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, то основаниями пирамиды являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Радиусы оснований конуса будут равны радиусам окружностей, описанных около этих квадратов.

1. Найдём радиусы оснований усечённого конуса.

Радиус окружности $R_{circ}$, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали $d$: $R_{circ} = \frac{d}{2}$. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $R_{circ} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Для большего основания пирамиды сторона квадрата $a_1 = 12$ см. Радиус основания конуса $R$ равен:$R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Для меньшего основания пирамиды сторона квадрата $a_2 = 8$ см. Радиус основания конуса $r$ равен:$r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Найдём образующую усечённого конуса.

Образующую $l$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой усечённого конуса $h$, разностью радиусов его оснований $(R-r)$ и самой образующей $l$, которая является гипотенузой. Высота конуса равна высоте пирамиды, $h = 2\sqrt{7}$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Найдём разность радиусов: $R - r = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:$l^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 7 + 4 \cdot 2 = 28 + 8 = 36$.

$l = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Теперь подставим найденные значения $R$, $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \cdot 6$.

$S_{бок} = \pi \cdot 10\sqrt{2} \cdot 6 = 60\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $60\pi\sqrt{2}$ см$^2$.