Страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.18. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\beta$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Впишем в неё конус. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в квадрат, лежащий в основании пирамиды.

Осевое сечение вписанного конуса представляет собой равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса (и пирамиды) $H$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.

Для решения задачи нам необходимо выразить радиус $r$ и высоту $H$ через заданные параметры: двугранный угол $\beta$ и расстояние $d$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту и апофему боковой грани (высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой боковой грани.

Пусть $O$ — центр основания пирамиды, $SO = H$ — её высота. Пусть $M$ — середина стороны основания. Тогда $OM = r$ — радиус основания конуса. Апофема боковой грани — это $SM$. Треугольник $\triangle SOM$ — прямоугольный ($\angle O = 90^\circ$).

Двугранный угол при ребре основания по определению является углом между плоскостью основания и боковой гранью. Его линейной мерой является угол $\angle SMO$ в треугольнике $\triangle SOM$. По условию, $\angle SMO = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ находим соотношение между $H$ и $r$:$\tan\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r} \implies H = r \tan\beta$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость этой грани. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $\triangle SOM$ и является высотой $OK$, проведённой к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = d$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (он является частью $\triangle SOM$, $\angle OKM = 90^\circ$). В нём катет $OK = d$ и $\angle OMK = \beta$. Гипотенузой является $OM = r$. Из соотношения сторон в этом треугольнике:$\sin\beta = \frac{OK}{OM} = \frac{d}{r}$.

Отсюда выражаем радиус основания конуса $r$:$r = \frac{d}{\sin\beta}$.

Теперь, зная $r$, находим высоту конуса $H$:$H = r \tan\beta = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \tan\beta = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{d}{\cos\beta}$.

Подставляем найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу площади осевого сечения конуса:$S_{сеч} = rH = \left(\frac{d}{\sin\beta}\right) \cdot \left(\frac{d}{\cos\beta}\right) = \frac{d^2}{\sin\beta \cos\beta}$.

Применим формулу синуса двойного угла: $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$. Отсюда $\sin\beta \cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\beta)$.

Тогда площадь осевого сечения равна:$S_{сеч} = \frac{d^2}{\frac{1}{2}\sin(2\beta)} = \frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.

Ответ: $\frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.

11.19. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь осевого сечения данного конуса.

Поскольку пирамида описана около конуса, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб), а их вершины совпадают. Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды, а радиус основания конуса $r$ является радиусом окружности, вписанной в ромб.

Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в ромб. Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h$. Высота ромба со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Тогда радиус вписанной окружности (и радиус основания конуса) равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}$

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и апофемой боковой грани пирамиды (которая является образующей конуса в точке касания). В этом треугольнике угол между радиусом $r$ и апофемой равен данному двугранному углу $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{H}{r}$

Отсюда выразим высоту конуса $H$:

$H = r \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)$

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса $D = 2r$, а высота равна высоте конуса $H$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$:

$S_{сеч} = \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}\right) \cdot \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)\right) = \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha) \cdot \tan(\beta)}{4}$

Ответ: $\frac{a^2 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{4}$

11.20. Около конуса описана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

По условию, около конуса описана пирамида. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник), а их вершины совпадают. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, назовем его $ABC$, с боковыми сторонами $AB=AC=a$ и углами при основании $\angle B = \angle C = \alpha$.

Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ — центр основания конуса (и центр вписанной окружности). Тогда $SO = H$ — высота конуса и пирамиды.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту конуса $SO$ и радиус $R$, проведенный в точку касания $K$ окружности с одной из сторон основания, например, со стороной $BC$. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник $SOK$. Катет $OK = R$, катет $SO = H$. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, поэтому $\angle SKO = \beta$. Гипотенуза $SK$ является апофемой боковой грани пирамиды. Образующая конуса $L$ — это расстояние от вершины $S$ до любой точки на окружности основания. Длина образующей равна $L = \sqrt{H^2 + R^2}$. Из треугольника $SOK$ видно, что $L = SK = \frac{OK}{\cos(\angle SKO)} = \frac{R}{\cos \beta}$.

Теперь найдем радиус $R$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник равнобедренный, $AM$ также является медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. В нем $MC = AC \cdot \cos C = a \cos \alpha$.

Центр вписанной окружности $O$ — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Поэтому $CO$ — биссектриса угла $C$, и $\angle OCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$ (с прямым углом $M$). В нем катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $R$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle OCM) = \frac{OM}{MC}$

Отсюда находим $R$:

$R = OM = MC \cdot \tan(\angle OCM) = a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь, зная $R$, мы можем найти длину образующей конуса $L$:

$L = \frac{R}{\cos \beta} = \frac{a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.

Наконец, подставляем найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}\right) = \frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.

11.21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения площади боковой поверхности вписанного конуса необходимо определить его радиус основания ($r$) и длину образующей ($l$). Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

1. Нахождение радиуса основания конуса
Основанием конуса является круг, вписанный в основание пирамиды. Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см и $b=8$ см. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.

Сначала найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности, который является радиусом основания конуса:
$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Нахождение образующей конуса
Условие, что все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $60^\circ$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, высота пирамиды $H$ и высота конуса совпадают.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани пирамиды. В этом треугольнике угол между радиусом $r$ и апофемой равен заданному двугранному углу $60^\circ$. Отсюда можно выразить высоту $H$:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r} \implies H = r \cdot \tan(60^\circ) = r\sqrt{3}$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$.
Подставим найденное выражение для $H$:
$l^2 = (r\sqrt{3})^2 + r^2 = 3r^2 + r^2 = 4r^2$.
Следовательно, $l = \sqrt{4r^2} = 2r$.

Зная, что $r = 2$ см, находим образующую:
$l = 2 \cdot 2 = 4$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса
Теперь, имея радиус $r=2$ см и образующую $l=4$ см, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².

11.22. Около конуса описана пирамида, основанием которой является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а высота пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник), а их высоты равны. Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды, то есть $h = 4\sqrt{2}$ см. Радиус основания конуса $r$ — это радиус окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании пирамиды.

Стороны треугольника в основании равны $a = 6$ см, $b = 25$ см и $c = 29$ см. Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

Теперь можем найти радиус $r$ основания конуса:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

Образующая конуса $l$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и радиус его основания $r$, а гипотенузой — образующая $l$:
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, находим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi$ см².

Ответ: $12\pi$ см².

11.23. В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 18 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

Поскольку правильная усечённая треугольная пирамида вписана в усечённый конус, её основаниями являются правильные треугольники, вписанные в окружности оснований конуса. Радиусы этих окружностей (оснований конуса) являются радиусами описанных окружностей для треугольных оснований пирамиды.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R_{circ}$ соотношением $a = R_{circ}\sqrt{3}$.
Для нижнего основания пирамиды с радиусом описанной окружности $R = 18$ см, сторона $a_1$ равна:
$a_1 = 18\sqrt{3}$ см.
Для верхнего основания пирамиды с радиусом описанной окружности $r = 6$ см, сторона $a_2$ равна:
$a_2 = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём периметры оснований.
Периметр нижнего основания: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см.
Периметр верхнего основания: $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

Далее необходимо найти апофему $l_a$ усечённой пирамиды. Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и разность радиусов вписанных в основания окружностей ($r_{in,1} - r_{in,2}$).
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.
Радиус вписанной окружности для нижнего основания: $r_{in,1} = \frac{R}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Радиус вписанной окружности для верхнего основания: $r_{in,2} = \frac{r}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Высота пирамиды равна высоте конуса $h = 9$ см.
По теореме Пифагора:
$l_a = \sqrt{h^2 + (r_{in,1} - r_{in,2})^2} = \sqrt{9^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$.
$l_a = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l_a = \frac{1}{2} (54\sqrt{3} + 18\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13} = \frac{1}{2} (72\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13} = 36\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{13} = 108\sqrt{39}$ см².

Ответ: $108\sqrt{39}$ см².

11.24. Около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды описан усечённый конус. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если стороны оснований усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а её высота – $2\sqrt{7}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как усечённый конус описан около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, то основаниями пирамиды являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Радиусы оснований конуса будут равны радиусам окружностей, описанных около этих квадратов.

1. Найдём радиусы оснований усечённого конуса.

Радиус окружности $R_{circ}$, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали $d$: $R_{circ} = \frac{d}{2}$. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $R_{circ} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Для большего основания пирамиды сторона квадрата $a_1 = 12$ см. Радиус основания конуса $R$ равен:$R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Для меньшего основания пирамиды сторона квадрата $a_2 = 8$ см. Радиус основания конуса $r$ равен:$r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Найдём образующую усечённого конуса.

Образующую $l$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой усечённого конуса $h$, разностью радиусов его оснований $(R-r)$ и самой образующей $l$, которая является гипотенузой. Высота конуса равна высоте пирамиды, $h = 2\sqrt{7}$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Найдём разность радиусов: $R - r = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:$l^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 7 + 4 \cdot 2 = 28 + 8 = 36$.

$l = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Теперь подставим найденные значения $R$, $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \cdot 6$.

$S_{бок} = \pi \cdot 10\sqrt{2} \cdot 6 = 60\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $60\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

11.25. В правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 5 см и 7 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Поскольку усечённый конус вписан в правильную четырёхугольную усечённую пирамиду, основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (квадраты). Это означает, что диаметры оснований конуса равны сторонам соответствующих оснований пирамиды.

1. Нахождение сторон оснований пирамиды
Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшего и большего оснований конуса, а $a_1$ и $a_2$ — стороны меньшего и большего оснований пирамиды.
Дано: $r_1 = 5$ см, $r_2 = 7$ см.
Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности.
Сторона меньшего основания: $a_1 = 2r_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Сторона большего основания: $a_2 = 2r_2 = 2 \cdot 7 = 14$ см.

2. Нахождение периметров оснований пирамиды
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.
Периметр меньшего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Периметр большего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 14 = 56$ см.

3. Нахождение апофемы усечённой пирамиды
Апофема правильной усечённой пирамиды ($h_a$) — это высота её боковой грани. Для пирамиды, в которую вписан конус, апофема пирамиды равна образующей ($l$) вписанного конуса.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основаниями являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.
Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — образующая конуса $l$;
• один катет — высота усечённого конуса $H$;
• другой катет — разность радиусов оснований $r_2 - r_1$.

Угол между образующей и плоскостью большего основания равен углу между гипотенузой $l$ и катетом $r_2 - r_1$. По условию этот угол равен $45^\circ$.
Найдём разность радиусов: $r_2 - r_1 = 7 - 5 = 2$ см.
Из прямоугольного треугольника:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_2 - r_1}{l}$
Отсюда найдём образующую $l$:
$l = \frac{r_2 - r_1}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Таким образом, апофема пирамиды $h_a = l = 2\sqrt{2}$ см.

4. Вычисление площади боковой поверхности усечённой пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(40 + 56) \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 2\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $96\sqrt{2}$ см$^2$.

11.26. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R + r)l$,где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая конуса.

По условию, около усеченного конуса описана правильная усеченная треугольная пирамида. Это означает, что основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники). Следовательно, радиусы оснований конуса $R$ и $r$ равны радиусам вписанных в эти треугольники окружностей.

Основания пирамиды — это правильные треугольники со сторонами $a_1 = 24$ см и $a_2 = 18$ см. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле:$r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Найдем радиус большего (нижнего) основания конуса:$R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус меньшего (верхнего) основания конуса:$r = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Образующая усеченного конуса $l$ равна апофеме усеченной пирамиды (высоте ее боковой грани). Боковая грань пирамиды представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $a_1 = 24$ см, $a_2 = 18$ см и боковой стороной, равной боковому ребру пирамиды, $b = 6$ см.

Найдем высоту этой трапеции (апофему $l$) с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $l$ (катет), боковым ребром $b=6$ см (гипотенуза) и отрезком на большем основании, равным полуразности оснований трапеции (второй катет).Длина этого отрезка равна:$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{24 - 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора:$l^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = b^2$$l^2 + 3^2 = 6^2$$l^2 + 9 = 36$$l^2 = 36 - 9 = 27$$l = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета площади боковой поверхности усеченного конуса:$R = 4\sqrt{3}$ см, $r = 3\sqrt{3}$ см, $l = 3\sqrt{3}$ см.

Подставим эти значения в формулу:$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$$S_{бок} = \pi(7\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$$S_{бок} = 21\pi \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$$S_{бок} = 21\pi \cdot 3 = 63\pi$ см².

Ответ: $63\pi$ см².

11.27. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В пирамиду вписан конус. Через вершину конуса проведена плоскость. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $SO = h$. Боковое ребро, например $SA$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$, то есть $\angle SAO = \alpha$. В конус, вписанный в пирамиду, имеет ту же вершину $S$ и высоту $H = h$. Его основание — это круг, вписанный в квадратное основание пирамиды $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$. Проекция бокового ребра $SA$ на плоскость основания — это отрезок $AO$. Из определения котангенса:$AO = SO \cdot \cot(\angle SAO) = h \cot(\alpha)$.$AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Если сторона квадрата равна $a$, то $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Приравнивая выражения для $AO$, находим $a$:$\frac{a\sqrt{2}}{2} = h \cot(\alpha) \implies a = \sqrt{2} h \cot(\alpha)$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, то есть $R = \frac{a}{2}$.$R = \frac{\sqrt{2} h \cot(\alpha)}{2} = \frac{h \cot(\alpha)}{\sqrt{2}}$. Образующая конуса $L$ находится по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$:$L^2 = H^2 + R^2 = h^2 + \left(\frac{h \cot(\alpha)}{\sqrt{2}}\right)^2 = h^2 \left(1 + \frac{\cot^2(\alpha)}{2}\right)$.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является равнобедренным треугольником. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$. Площадь сечения $S_{сеч}$ зависит от угла $\gamma$ между образующими в сечении:$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\gamma)$. Наибольшая площадь сечения соответствует наибольшему возможному значению $\sin(\gamma)$. Максимальный угол $\gamma$ между двумя образующими конуса — это угол при вершине его осевого сечения. Обозначим этот угол $2\beta$. Таким образом, угол $\gamma$ в любом сечении изменяется в пределах $0 \le \gamma \le 2\beta$.

В прямоугольном треугольнике, являющемся половиной осевого сечения, с катетами $H$ и $R$, тангенс угла $\beta$ при вершине равен:$\tan(\beta) = \frac{R}{H} = \frac{h \cot(\alpha)/\sqrt{2}}{h} = \frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{2}}$.

Задача сводится к нахождению максимума функции $S_{сеч}(\gamma) = \frac{1}{2} L^2 \sin(\gamma)$ на отрезке $\gamma \in [0, 2\beta]$. Решение зависит от величины $2\beta$.

1. Если $2\beta \ge 90^\circ$. Это условие равносильно $\beta \ge 45^\circ$. Поскольку $\beta$ — острый угол, это эквивалентно $\tan(\beta) \ge \tan(45^\circ) = 1$.$\frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{2}} \ge 1 \implies \cot(\alpha) \ge \sqrt{2}$. В этом случае максимальное значение $\sin(\gamma)$ на отрезке $[0, 2\beta]$ равно 1 и достигается при $\gamma = 90^\circ$. Это означает, что можно провести сечение с прямым углом при вершине, и его площадь будет наибольшей.$S_{max} = \frac{1}{2} L^2 \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} L^2 = \frac{1}{2} h^2 \left(1 + \frac{\cot^2(\alpha)}{2}\right) = \frac{h^2(2+\cot^2(\alpha))}{4}$.

2. Если $2\beta < 90^\circ$. Это условие равносильно $\beta < 45^\circ$, или $\tan(\beta) < 1$.$\frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{2}} < 1 \implies \cot(\alpha) < \sqrt{2}$. В этом случае на отрезке $[0, 2\beta]$ функция $\sin(\gamma)$ монотонно возрастает, и её максимум достигается при $\gamma = 2\beta$. Следовательно, сечение с наибольшей площадью — это осевое сечение конуса. Площадь осевого сечения равна $S_{max} = R \cdot H$.$S_{max} = \left(\frac{h \cot(\alpha)}{\sqrt{2}}\right) \cdot h = \frac{h^2 \cot(\alpha)}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} h^2 \cot(\alpha)}{2}$.

Ответ:Если $\cot(\alpha) \ge \sqrt{2}$, то площадь наибольшего сечения равна $\frac{h^2(2+\cot^2(\alpha))}{4}$.
Если $\cot(\alpha) < \sqrt{2}$, то площадь наибольшего сечения равна $\frac{\sqrt{2} h^2 \cot(\alpha)}{2}$.