Страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют сферой?

2. Что называют радиусом сферы? диаметром сферы?

3. Чему равен диаметр сферы, если её радиус равен $r$?

4. Что называют шаром?

5. Что называют диаметром шара?

6. Какое уравнение является уравнением сферы с центром в точке $A (a; b; c)$ и радиусом $r$?

7. Какое неравенство задаёт шар с центром в точке $A (a; b; c)$ и радиусом $r$?

1. Сферой называется геометрическое место точек в трёхмерном пространстве, равноудалённых от одной данной точки, называемой центром сферы. Сфера является поверхностью.
Ответ: Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).

2. Радиусом сферы называют отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой на сфере, а также длину этого отрезка. Диаметром сферы называют отрезок, который соединяет две точки на сфере и проходит через её центр, а также его длину.
Ответ: Радиус — это отрезок от центра до любой точки сферы. Диаметр — это хорда, проходящая через центр сферы.

3. Диаметр сферы ($d$) в два раза больше её радиуса ($r$). Это соотношение выражается формулой: $d = 2r$.
Ответ: $d = 2r$.

4. Шаром называется тело, ограниченное сферой. Шар содержит все точки пространства, которые находятся на расстоянии от центра, не превышающем радиус.
Ответ: Шар — это совокупность всех точек пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус.

5. Диаметром шара называют отрезок, соединяющий две точки на его границе (сфере) и проходящий через его центр. Длина диаметра шара равна двум его радиусам.
Ответ: Диаметр шара — это отрезок, проходящий через его центр, концы которого лежат на поверхности шара (сфере).

6. Уравнение сферы с центром в точке с координатами $A(a; b; c)$ и радиусом $r$ в прямоугольной системе координат задаётся равенством, которое выражает тот факт, что квадрат расстояния от любой точки сферы $(x; y; z)$ до её центра равен квадрату радиуса.
Ответ: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$.

7. Шар с центром в точке $A(a; b; c)$ и радиусом $r$ включает в себя все точки $(x; y; z)$, расстояние от которых до центра меньше или равно радиусу. Таким образом, шар задаётся неравенством.
Ответ: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \le r^2$.

12.1. Отрезок $AB$ — диаметр сферы, $M$ — произвольная точка сферы. Докажите, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус.

По условию, отрезок $AB$ является диаметром сферы. Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на сфере, а центр сферы $O$ является серединой отрезка $AB$. Длина диаметра, следовательно, равна $AB = 2R$.

Точка $M$ — произвольная точка на сфере. Рассмотрим треугольник $AMB$, образованный точками $A$, $M$ и $B$.

Проведем отрезок $OM$, соединяющий центр сферы $O$ с точкой $M$. Поскольку $O$ — центр сферы, а точки $A$, $B$ и $M$ лежат на ее поверхности, отрезки $OA$, $OB$ и $OM$ являются радиусами. Таким образом, $OA = OB = OM = R$.

В треугольнике $AMB$ отрезок $OM$ соединяет вершину $M$ с серединой $O$ противолежащей стороны $AB$. Следовательно, $OM$ — медиана треугольника $AMB$.

Длина этой медианы $OM = R$, а длина стороны $AB$, к которой она проведена, составляет $2R$. Таким образом, мы видим, что медиана $OM$ равна половине стороны $AB$: $OM = \frac{1}{2}AB$.

Согласно свойству треугольника (в частности, признаку прямоугольного треугольника), если медиана, проведенная к одной из сторон, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным. Прямой угол в таком треугольнике лежит напротив стороны, к которой была проведена медиана.

Применяя это свойство к треугольнику $AMB$, мы заключаем, что он является прямоугольным, а угол $\angle AMB$, лежащий напротив стороны $AB$, равен $90^{\circ}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.2. Докажите, что центр сферы является её центром симметрии.

12.2.

Чтобы доказать, что центр сферы является её центром симметрии, необходимо показать, что для любой точки, принадлежащей сфере, симметричная ей точка относительно центра также принадлежит этой сфере.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки (центра). Таким образом, для любой точки $A$ на сфере выполняется равенство: $|OA| = R$.

Возьмём произвольную точку $A$ на этой сфере. Пусть точка $A'$ является точкой, симметричной точке $A$ относительно центра $O$.

По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, а также что расстояния от центра симметрии $O$ до точек $A$ и $A'$ равны: $|OA'| = |OA|$.

Поскольку точка $A$ лежит на сфере, мы знаем, что $|OA| = R$. Подставляя это значение в предыдущее равенство, получаем: $|OA'| = R$.

Это равенство означает, что точка $A'$ также удалена от центра $O$ на расстояние $R$. Следовательно, по определению сферы, точка $A'$ также принадлежит этой сфере.

Так как мы выбрали произвольную точку $A$ на сфере и доказали, что симметричная ей относительно центра точка $A'$ также находится на сфере, мы можем заключить, что центр сферы является её центром симметрии.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.3. На сфере с центром $O$ взяли точки $A$ и $B$ такие, что $AB = 18$ см.

Найдите радиус сферы, если расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $12$ см.

Пусть $R$ — радиус сферы. Точки $A$ и $B$ лежат на сфере, значит, отрезки $OA$ и $OB$ равны радиусу сферы: $OA = OB = R$. Таким образом, треугольник $OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Расстояние от центра сферы $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой $H$. Тогда $OH \perp AB$ и, по условию задачи, $OH = 12$ см.

В равнобедренном треугольнике $OAB$ высота $OH$, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ делит отрезок $AB$ пополам:

$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Его катеты — $OH$ и $AH$, а гипотенуза — $OA$, которая является радиусом сферы $R$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = 12^2 + 9^2$

$R^2 = 144 + 81$

$R^2 = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.