Номер 11.22, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.22. Около конуса описана пирамида, основанием которой является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а высота пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник), а их высоты равны. Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды, то есть $h = 4\sqrt{2}$ см. Радиус основания конуса $r$ — это радиус окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании пирамиды.

Стороны треугольника в основании равны $a = 6$ см, $b = 25$ см и $c = 29$ см. Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

Теперь можем найти радиус $r$ основания конуса:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.

Образующая конуса $l$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и радиус его основания $r$, а гипотенузой — образующая $l$:
$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, находим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi$ см².

Ответ: $12\pi$ см².