Номер 11.15, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.15. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна $ \frac{5\sqrt{87}}{8} $ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как конус описан около пирамиды, то основание конуса — это окружность, описанная около треугольника, который является основанием пирамиды. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а их высоты равны.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами $a=13$ см, $b=14$ см и $c=15$ см. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.
Вычислим полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².
Радиус описанной окружности найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ см.

2. Найдем образующую конуса $l$.
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды: $H = \frac{5\sqrt{87}}{8}$ см.
Образующую, высоту и радиус основания конуса связывает теорема Пифагора: $l^2 = R^2 + H^2$.
$l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{(\frac{65}{8})^2 + (\frac{5\sqrt{87}}{8})^2} = \sqrt{\frac{4225}{64} + \frac{25 \cdot 87}{64}} = \sqrt{\frac{4225 + 2175}{64}} = \sqrt{\frac{6400}{64}} = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Теперь, зная радиус $R$ и образующую $l$, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{650\pi}{8} = \frac{325\pi}{4}$ см².

Ответ: $\frac{325\pi}{4}$ см².