Номер 11.12, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.12. Основание пирамиды — прямоугольник, меньшая из сторон которого равна $a$, а угол между диагоналями равен $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Поскольку конус описан около пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, описанной около основания пирамиды (прямоугольника).

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. Тогда $R$ равен длине отрезка AO. Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей, а AB — меньшая сторона прямоугольника, равная $a$. Стороны $OA = OB = R$. Угол между диагоналями $\alpha$ является углом при вершине O этого треугольника ($\angle AOB = \alpha$), так как он лежит напротив меньшей стороны $a$.

Проведем в треугольнике AOB высоту OM к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота OM является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AM = \frac{a}{2}$ и $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника AMO имеем:

$\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{AO}$

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}$

2. Найдем образующую конуса $L$.

По условию все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды S проецируется в центр описанной окружности основания, то есть в точку O. Образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды (например, SA).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где SO — высота пирамиды, OA — проекция ребра SA на плоскость основания, $OA = R$. Угол наклона бокового ребра к основанию — это угол между ребром и его проекцией, то есть $\angle SAO = \beta$.

Из треугольника SOA:

$\cos(\beta) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим образующую $L$:

$L = \frac{R}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi R L = \pi R \cdot \frac{R}{\cos(\beta)} = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)}$

Теперь подставим выражение для $R$:

$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha/2)}$

$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4 \cos(\beta) \sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4 \cos(\beta) \sin^2(\alpha/2)}$