Номер 11.9, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.9. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$. Конус, вписанный в эту пирамиду, имеет ту же вершину и высоту, что и пирамида, а его основание представляет собой круг, вписанный в квадратное основание пирамиды.

Радиус $r$ круга, вписанного в квадрат со стороной $a$, равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $d$, а высота — высоте конуса $H$. Основание этого треугольника (диаметр конуса) равно $d = 2r = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$. Высота этого треугольника $H$ равна высоте пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды $H$ воспользуемся данным двугранным углом при ребре основания, который равен $\alpha$. Этот угол является углом между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна радиусу вписанной в основание окружности, то есть $\frac{a}{2}$.

В этом прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота пирамиды $H$, а прилежащий катет — это отрезок длиной $\frac{a}{2}$. Таким образом, мы можем записать: $\tan \alpha = \frac{H}{a/2}$ Отсюда выразим высоту $H$: $H = \frac{a}{2} \tan \alpha$.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ вычисляется как площадь треугольника с основанием $d=a$ и высотой $H$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan \alpha\right) = \frac{a^2 \tan \alpha}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4} \tan \alpha$.