Номер 11.5, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4\sqrt{7}$ см и 12 см, а боковые рёбра пирамиды равны по 17 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Поскольку конус описан около пирамиды, то основание пирамиды (прямоугольник) вписано в основание конуса (окружность), а их вершины совпадают. Это означает, что радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Найдем диагональ по теореме Пифагора, зная стороны прямоугольника $a=12$ см и $b=4\sqrt{7}$ см:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{7})^2} = \sqrt{144 + 16 \cdot 7} = \sqrt{144 + 112} = \sqrt{256} = 16$ см.
Следовательно, радиус основания конуса:
$R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Так как все боковые ребра пирамиды равны, ее высота опускается в центр описанной окружности основания (точку пересечения диагоналей прямоугольника). Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром пирамиды $L$ (которое является образующей конуса), радиусом основания конуса $R$ и высотой конуса $H$. В этом треугольнике $L$ — гипотенуза, а $R$ и $H$ — катеты.
По условию $L = 17$ см. По теореме Пифагора:
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.
Подставим найденные значения:
$S_{сеч} = 8 \cdot 15 = 120$ см².

Ответ: 120 см².