Номер 11.10, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.10. Около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Для решения задачи нам необходимо найти эти две величины.

Так как правильная четырёхугольная пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат). Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Сторона квадрата в основании пирамиды равна $a$. Поскольку окружность вписана в этот квадрат, её диаметр равен стороне квадрата, то есть $2r = a$. Отсюда находим радиус основания конуса:
$r = \frac{a}{2}$.

Теперь найдём высоту конуса $H$, которая совпадает с высотой пирамиды. По условию, боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и проекция бокового ребра на основание, а гипотенузой — само боковое ребро.

Проекцией бокового ребра на основание является отрезок, соединяющий центр квадрата с его вершиной, то есть половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Значит, длина проекции равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В упомянутом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему (проекции бокового ребра):
$\tan(\alpha) = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Выразим отсюда высоту $H$:
$H = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой другого прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$.
Подставим найденные значения $H$ и $r$:
$l^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} \tan^2(\alpha) + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} (2 \tan^2(\alpha) + 1)$.
Отсюда находим образующую:
$l = \sqrt{\frac{a^2(1 + 2 \tan^2(\alpha))}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.

Наконец, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив в формулу найденные $r$ и $l$:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{4} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.