Номер 11.17, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.17. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $α$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $m$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Центр основания — точка $O$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ является равносторонним треугольником, а высота пирамиды $SO$ проецируется в центр основания $O$.

Конус, вписанный в данную пирамиду, имеет ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO$, что и пирамида. Основанием конуса является круг, вписанный в треугольник $ABC$. Радиус $r$ этого круга является радиусом вписанной в основание окружности. Образующая конуса $L$ является апофемой боковой грани пирамиды, так как боковые грани пирамиды касаются конуса по его образующим.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = \pi r L$. Для решения задачи нам необходимо найти радиус $r$ и образующую $L$ конуса.

Проведем апофему $SM$ боковой грани $SBC$, где $M$ — середина ребра $BC$. Отрезок $OM$ соединяет центр основания с серединой стороны, поэтому $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Таким образом, $r = OM$. Кроме того, $SM$ — апофема боковой грани, значит, $L = SM$.

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостями основания $(ABC)$ и боковой грани $(SBC)$. Так как $OM \perp BC$ (как радиус, проведенный в точку касания) и $SM \perp BC$ (как апофема), то линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, т.е. $SO \perp OM$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ по условию равно $m$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SBC)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$ (поскольку проходит через прямую $SM$, перпендикулярную их линии пересечения $BC$), то перпендикуляр из точки $O$ на плоскость $(SBC)$ будет лежать в плоскости $(SOM)$. Пусть $OK$ — этот перпендикуляр, где $K$ лежит на $SM$. Тогда $OK = m$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $\triangle SOM$, проведенная к гипотенузе $SM$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (прямой угол при $K$). В этом треугольнике нам известны катет $OK = m$ и угол $\angle KMO = \alpha$. Гипотенуза этого треугольника — $OM = r$. Из определения синуса угла:$\sin(\alpha) = \frac{OK}{OM} = \frac{m}{r}$Отсюда находим радиус основания конуса:$r = \frac{m}{\sin(\alpha)}$

Далее найдем образующую конуса $L=SM$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOM$. В нем известен катет $OM = r$ и прилежащий к нему острый угол $\angle SMO = \alpha$. Гипотенуза этого треугольника — $SM = L$. Из определения косинуса угла:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{L}$Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{r}{\cos(\alpha)}$Подставим ранее найденное выражение для $r$:$L = \frac{m/\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив найденные значения $r$ и $L$ в формулу $S_{\text{бок}} = \pi r L$:$S_{\text{бок}} = \pi \cdot \left(\frac{m}{\sin(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi m^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$