Номер 11.21, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения площади боковой поверхности вписанного конуса необходимо определить его радиус основания ($r$) и длину образующей ($l$). Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

1. Нахождение радиуса основания конуса
Основанием конуса является круг, вписанный в основание пирамиды. Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см и $b=8$ см. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.

Сначала найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности, который является радиусом основания конуса:
$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Нахождение образующей конуса
Условие, что все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $60^\circ$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, высота пирамиды $H$ и высота конуса совпадают.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани пирамиды. В этом треугольнике угол между радиусом $r$ и апофемой равен заданному двугранному углу $60^\circ$. Отсюда можно выразить высоту $H$:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r} \implies H = r \cdot \tan(60^\circ) = r\sqrt{3}$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$.
Подставим найденное выражение для $H$:
$l^2 = (r\sqrt{3})^2 + r^2 = 3r^2 + r^2 = 4r^2$.
Следовательно, $l = \sqrt{4r^2} = 2r$.

Зная, что $r = 2$ см, находим образующую:
$l = 2 \cdot 2 = 4$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса
Теперь, имея радиус $r=2$ см и образующую $l=4$ см, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².