Номер 11.20, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.20. Около конуса описана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

По условию, около конуса описана пирамида. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник), а их вершины совпадают. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, назовем его $ABC$, с боковыми сторонами $AB=AC=a$ и углами при основании $\angle B = \angle C = \alpha$.

Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ — центр основания конуса (и центр вписанной окружности). Тогда $SO = H$ — высота конуса и пирамиды.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту конуса $SO$ и радиус $R$, проведенный в точку касания $K$ окружности с одной из сторон основания, например, со стороной $BC$. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник $SOK$. Катет $OK = R$, катет $SO = H$. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, поэтому $\angle SKO = \beta$. Гипотенуза $SK$ является апофемой боковой грани пирамиды. Образующая конуса $L$ — это расстояние от вершины $S$ до любой точки на окружности основания. Длина образующей равна $L = \sqrt{H^2 + R^2}$. Из треугольника $SOK$ видно, что $L = SK = \frac{OK}{\cos(\angle SKO)} = \frac{R}{\cos \beta}$.

Теперь найдем радиус $R$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник равнобедренный, $AM$ также является медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. В нем $MC = AC \cdot \cos C = a \cos \alpha$.

Центр вписанной окружности $O$ — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Поэтому $CO$ — биссектриса угла $C$, и $\angle OCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$ (с прямым углом $M$). В нем катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $R$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle OCM) = \frac{OM}{MC}$

Отсюда находим $R$:

$R = OM = MC \cdot \tan(\angle OCM) = a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь, зная $R$, мы можем найти длину образующей конуса $L$:

$L = \frac{R}{\cos \beta} = \frac{a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.

Наконец, подставляем найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{a \cos \alpha \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}\right) = \frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \beta}$.