Номер 11.18, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.18. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\beta$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Впишем в неё конус. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в квадрат, лежащий в основании пирамиды.

Осевое сечение вписанного конуса представляет собой равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса (и пирамиды) $H$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.

Для решения задачи нам необходимо выразить радиус $r$ и высоту $H$ через заданные параметры: двугранный угол $\beta$ и расстояние $d$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту и апофему боковой грани (высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой боковой грани.

Пусть $O$ — центр основания пирамиды, $SO = H$ — её высота. Пусть $M$ — середина стороны основания. Тогда $OM = r$ — радиус основания конуса. Апофема боковой грани — это $SM$. Треугольник $\triangle SOM$ — прямоугольный ($\angle O = 90^\circ$).

Двугранный угол при ребре основания по определению является углом между плоскостью основания и боковой гранью. Его линейной мерой является угол $\angle SMO$ в треугольнике $\triangle SOM$. По условию, $\angle SMO = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ находим соотношение между $H$ и $r$:$\tan\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r} \implies H = r \tan\beta$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость этой грани. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $\triangle SOM$ и является высотой $OK$, проведённой к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = d$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (он является частью $\triangle SOM$, $\angle OKM = 90^\circ$). В нём катет $OK = d$ и $\angle OMK = \beta$. Гипотенузой является $OM = r$. Из соотношения сторон в этом треугольнике:$\sin\beta = \frac{OK}{OM} = \frac{d}{r}$.

Отсюда выражаем радиус основания конуса $r$:$r = \frac{d}{\sin\beta}$.

Теперь, зная $r$, находим высоту конуса $H$:$H = r \tan\beta = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \tan\beta = \frac{d}{\sin\beta} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{d}{\cos\beta}$.

Подставляем найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу площади осевого сечения конуса:$S_{сеч} = rH = \left(\frac{d}{\sin\beta}\right) \cdot \left(\frac{d}{\cos\beta}\right) = \frac{d^2}{\sin\beta \cos\beta}$.

Применим формулу синуса двойного угла: $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$. Отсюда $\sin\beta \cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\beta)$.

Тогда площадь осевого сечения равна:$S_{сеч} = \frac{d^2}{\frac{1}{2}\sin(2\beta)} = \frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.

Ответ: $\frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.