Номер 11.16, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.16. Докажите, что если в пирамиду $MABCD$ можно вписать конус, то сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$ равна сумме площадей граней $AMD$ и $BMC$.

Пусть в пирамиду $MABCD$ вписан конус. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (четырехугольник $ABCD$), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды $M$.

1. Свойство основания. Так как в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность, он является описанным четырехугольником. Основное свойство описанного четырехугольника (теорема Пиго) заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + DA$

2. Свойство боковых граней. Условие, что в пирамиду можно вписать конус, означает, что все ее боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Геометрически это значит, что высоты всех боковых граней, проведенные из вершины $M$ к сторонам основания (эти высоты называются апофемами пирамиды), равны между собой. Обозначим длину этой общей апофемы буквой $l$.

3. Площади граней. Площадь каждой боковой грани (треугольника) равна половине произведения ее основания (стороны четырехугольника $ABCD$) на высоту (апофему $l$).

$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l$

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l$

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot l$

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l$

4. Сравнение сумм площадей. Теперь вычислим суммы площадей противолежащих боковых граней:

Сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$:

$S_{AMB} + S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l = \frac{1}{2} l (AB + CD)$

Сумма площадей граней $AMD$ и $BMC$:

$S_{AMD} + S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot l + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l = \frac{1}{2} l (AD + BC)$

Используя свойство основания из пункта 1 ($AB + CD = BC + DA$), мы видим, что правые части выражений для сумм площадей равны:

$\frac{1}{2} l (AB + CD) = \frac{1}{2} l (AD + BC)$

Отсюда следует, что и левые части равны:

$S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если в пирамиду $MABCD$ можно вписать конус, то сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$ равна сумме площадей граней $AMD$ и $BMC$.