Номер 11.23, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.23. В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 18 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

Поскольку правильная усечённая треугольная пирамида вписана в усечённый конус, её основаниями являются правильные треугольники, вписанные в окружности оснований конуса. Радиусы этих окружностей (оснований конуса) являются радиусами описанных окружностей для треугольных оснований пирамиды.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R_{circ}$ соотношением $a = R_{circ}\sqrt{3}$.
Для нижнего основания пирамиды с радиусом описанной окружности $R = 18$ см, сторона $a_1$ равна:
$a_1 = 18\sqrt{3}$ см.
Для верхнего основания пирамиды с радиусом описанной окружности $r = 6$ см, сторона $a_2$ равна:
$a_2 = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём периметры оснований.
Периметр нижнего основания: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см.
Периметр верхнего основания: $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

Далее необходимо найти апофему $l_a$ усечённой пирамиды. Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и разность радиусов вписанных в основания окружностей ($r_{in,1} - r_{in,2}$).
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.
Радиус вписанной окружности для нижнего основания: $r_{in,1} = \frac{R}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Радиус вписанной окружности для верхнего основания: $r_{in,2} = \frac{r}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Высота пирамиды равна высоте конуса $h = 9$ см.
По теореме Пифагора:
$l_a = \sqrt{h^2 + (r_{in,1} - r_{in,2})^2} = \sqrt{9^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$.
$l_a = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l_a = \frac{1}{2} (54\sqrt{3} + 18\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13} = \frac{1}{2} (72\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13} = 36\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{13} = 108\sqrt{39}$ см².

Ответ: $108\sqrt{39}$ см².