Номер 11.30, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.30. В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 13 см и 15 см, вписана пирамида $DABC$. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, в котором $AB = 24$ см, а высота $CK = 10$ см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат Oxyz.

1. Определение координат вершин пирамиды

Пусть центр основания конуса, точка O, совпадает с началом координат (0, 0, 0). Тогда основание конуса лежит в плоскости $z=0$. Высота конуса совпадает с осью Oz. Вершина конуса D, которая также является вершиной пирамиды DABC, имеет координаты $D(0, 0, H)$, где высота конуса $H = 15$ см. Таким образом, $D(0, 0, 15)$.

Основание пирамиды, треугольник ABC, вписано в окружность основания конуса. Уравнение этой окружности в плоскости $z=0$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где радиус основания конуса $R = 13$ см. Следовательно, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 169$.

Сторона треугольника AB является хордой этой окружности. Длина хорды $AB = 24$ см. Найдем расстояние от центра окружности O до этой хорды. Пусть M — середина AB. Треугольник OAM — прямоугольный ($OM \perp AM$), с гипотенузой OA, равной радиусу $R=13$ см, и катетом $AM = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. По теореме Пифагора:

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Для удобства расположим хорду AB параллельно оси Ox так, чтобы ее середина M лежала на оси Oy. Тогда координаты точки M будут $(0, -5, 0)$, а уравнение прямой AB будет $y=-5$. Координаты точек A и B будут $A(-12, -5, 0)$ и $B(12, -5, 0)$.

Вершина C также лежит на окружности $x^2 + y^2 = 169$. Высота CK треугольника ABC, проведенная к стороне AB, равна 10 см. Это означает, что расстояние от точки $C(x_C, y_C, 0)$ до прямой $y=-5$ равно 10. Расстояние вычисляется как $|y_C - (-5)| = 10$, то есть $|y_C + 5| = 10$.

Это дает два возможных значения для $y_C$: $y_C + 5 = 10 \Rightarrow y_C = 5$ или $y_C + 5 = -10 \Rightarrow y_C = -15$.

Подставим эти значения в уравнение окружности, чтобы проверить, возможны ли они:

• Если $y_C = -15$, то $x_C^2 + (-15)^2 = 169 \Rightarrow x_C^2 + 225 = 169 \Rightarrow x_C^2 = -56$. Это невозможно.
• Если $y_C = 5$, то $x_C^2 + 5^2 = 169 \Rightarrow x_C^2 + 25 = 169 \Rightarrow x_C^2 = 144$. Отсюда $x_C = \pm 12$.

Выберем любое из решений, например, $x_C = 12$. Тогда координаты точки C: $C(12, 5, 0)$.

Итак, мы определили координаты всех необходимых точек: $A(-12, -5, 0)$, $B(12, -5, 0)$, $C(12, 5, 0)$ и $D(0, 0, 15)$.

2. Нахождение расстояния между прямыми AB и CD

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Найдем расстояние от прямой AB до плоскости $\Pi$, которая проходит через прямую CD и параллельна прямой AB.

Найдем направляющие векторы прямых AB и CD:

Направляющий вектор прямой AB: $\vec{v_{AB}} = B - A = (12 - (-12), -5 - (-5), 0 - 0) = (24, 0, 0)$. Можно взять коллинеарный вектор $\vec{a} = (1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой CD: $\vec{v_{CD}} = D - C = (0 - 12, 0 - 5, 15 - 0) = (-12, -5, 15)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ должен быть перпендикулярен обоим векторам $\vec{a}$ и $\vec{v_{CD}}$. Найдем его через векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{v_{CD}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -12 & -5 & 15 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 15 - 0 \cdot (-5)) - \vec{j}(1 \cdot 15 - 0 \cdot (-12)) + \vec{k}(1 \cdot (-5) - 0 \cdot (-12)) = 0\vec{i} - 15\vec{j} - 5\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{n} = (0, -15, -5)$. Для уравнения плоскости можно использовать коллинеарный вектор $(0, 3, 1)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $0x + 3y + 1z + d = 0$, или $3y + z + d = 0$. Так как плоскость проходит через точку $C(12, 5, 0)$, подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $d$:

$3(5) + 0 + d = 0 \Rightarrow 15 + d = 0 \Rightarrow d = -15$.

Уравнение плоскости $\Pi$: $3y + z - 15 = 0$.

Искомое расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию от любой точки прямой AB, например $A(-12, -5, 0)$, до плоскости $\Pi$.

$\rho(A, \Pi) = \frac{|3y_A + z_A - 15|}{\sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|3(-5) + 0 - 15|}{\sqrt{9+1}} = \frac{|-15-15|}{\sqrt{10}} = \frac{|-30|}{\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{30}{\sqrt{10}} = \frac{30\sqrt{10}}{10} = 3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.