Номер 11.32, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.32. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $CN$. Известно, что $AC = 6$ см, $AN = 2$ см, $CM = 3$ см. Найдите $MN$.

Пусть стороны треугольника ABC равны $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. По условию задачи, $b = AC = 6$ см, $AN = 2$ см, $CM = 3$ см.

Поскольку точка N лежит на стороне $AB$, то $NB = AB - AN = c - 2$.

Поскольку точка M лежит на стороне $BC$, то $BM = BC - CM = a - 3$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для биссектрисы $CN$, проведенной из угла $C$, имеем:

$\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{2}{c-2} = \frac{6}{a}$

$2a = 6(c-2)$, что можно упростить до $a = 3(c-2)$. (1)

Для биссектрисы $AM$, проведенной из угла $A$, имеем:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$

$\frac{a-3}{3} = \frac{c}{6}$

$6(a-3) = 3c$, что можно упростить до $c = 2(a-3)$. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $c$. Решим ее, подставив выражение для $c$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$a = 3( (2(a-3)) - 2 )$

$a = 3(2a - 6 - 2)$

$a = 3(2a - 8)$

$a = 6a - 24$

$5a = 24$

$a = 4.8$ см.

Теперь найдем $c$, подставив значение $a = 4.8$ в уравнение (2):

$c = 2(4.8 - 3) = 2(1.8) = 3.6$ см.

Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника $ABC$: $BC = a = 4.8$ см, $AB = c = 3.6$ см, и $AC = b = 6$ см.

Проверим, является ли треугольник $ABC$ прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон:

$AB^2 + BC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$

$AC^2 = 6^2 = 36$

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).

Найдем длины отрезков $BN$ и $BM$:

$BN = c - 2 = 3.6 - 2 = 1.6$ см.

$BM = a - 3 = 4.8 - 3 = 1.8$ см.

Рассмотрим треугольник $NBM$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то этот треугольник также является прямоугольным, а отрезок $MN$ — его гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $NBM$:

$MN^2 = BN^2 + BM^2$

$MN^2 = (1.6)^2 + (1.8)^2 = 2.56 + 3.24 = 5.8$

$MN = \sqrt{5.8}$ см.

Ответ: $MN = \sqrt{5.8}$ см.